3. Résoudre les inéquations dans $$ ] 0 ;+\infty[ $$. (a) $$ \ln (x+3)2 \ln (x+1) $$ (b) $$ 3-\ln (x) \geq 7 $$

Question

3. Résoudre les inéquations dans $$ ] 0 ;+\infty[ $$. (a) $$ \ln (x+3)>2 \ln (x+1) $$ (b) $$ 3-\ln (x) \geq 7 $$

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Pour résoudre les inéquations dans $$ ] 0 ;+\infty[ $$, procédons étape par étape. ### (a) $$ \ln (x+3) > 2 \ln (x+1) $$ 1. **Utiliser les propriétés des logarithmes** : $$ \ln (x+3) > \ln ((x+1)^2) $$ Cela est vrai si : $$ x + 3 > (x + 1)^2 $$ 2. **Développer l'inégalité** : $$ x + 3 > x^2 + 2x + 1 $$ En réarrangeant, nous obtenons : $$ 0 > x^2 + 2x + 1 - x - 3 $$ $$ 0 > x^2 + x - 2 $$ 3. **Factoriser le trinôme** : $$ 0 > (x - 1)(x + 2) $$ 4. **Analyser le signe du produit** : - Les racines de l'équation $$ (x - 1)(x + 2) = 0 $$ sont $$ x = 1 $$ et $$ x = -2 $$. - Nous cherchons les intervalles où le produit est négatif. Les intervalles à considérer sont $$ ] -\infty, -2[ $$, $$ ] -2, 1[ $$, et $$ ] 1, +\infty[ $$. En testant un point dans chaque intervalle : - Pour $$ x = 0 $$ (dans $$ ] -2, 1[ $$) : $$ (0 - 1)(0 + 2) = -1 \cdot 2 < 0 $$ (négatif). - Pour $$ x = 2 $$ (dans $$ ] 1, +\infty[ $$) : $$ (2 - 1)(2 + 2) = 1 \cdot 4 > 0 $$ (positif). Donc, l'inégalité est vérifiée dans l'intervalle $$ ] -2, 1[ $$. 5. **Conclusion** : Comme nous cherchons des solutions dans $$ ] 0 ; +\infty[ $$, la solution est : $$ x \in ] 0, 1[ $$ ### (b) $$ 3 - \ln (x) \geq 7 $$ 1. **Réarranger l'inégalité** : $$ -\ln (x) \geq 7 - 3 $$ $$ -\ln (x) \geq 4 $$ En multipliant par -1 (ce qui inverse le sens de l'inégalité) : $$ \ln (x) \leq -4 $$ 2. **Exponentier les deux côtés** : $$ x \leq e^{-4} $$ 3. **Analyser la solution** : Comme nous cherchons des solutions dans $$ ] 0 ; +\infty[ $$, nous avons : $$ 0 < x \leq e^{-4} $$ 4. **Conclusion** : La solution est : $$ x \in ] 0, e^{-4} ] $$ ### Résumé des solutions : - (a) $$ x \in ] 0, 1[ $$ - (b) $$ x \in ] 0, e^{-4} ] $$ (a) $$ x \in ] 0, 1[ $$ (b) $$ x \in ] 0, e^{-4} ] $$

Résoudre les inéquations dans .
(a)
(b)

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