Question
XERCICE \( N^{\circ} 1 \) : (3 points) ur chaque question une seule des trois propositions est exacte. Choisir la bo stification n'est demandée. Soit \( f \) une fonction dérivable sur \( [0,1] \); On donne \( I=\int_{0}^{1} x f^{\prime}(x) d x \) alors : \( \begin{array}{lll}\text { a) } I=\int_{0}^{1} f(x) d x & \text { b) } I=-f(0) & \text { c) } I=\int_{1}^{0} f(x) d x \\ \text { Soit } J=\int_{-\pi}^{\pi} \sin ^{5}(x) d x & \text { b) } 1\rangle 0 & \text { c) } J\langle 0\end{array} \)
Ask by Kelley Potter. in Tunisia
Jan 23,2025
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**Exercice Nº1 :**
1. **Première Question :**
Soit \( I = \int_{0}^{1} x f^{\prime}(x) \, dx \).
- **a) \( I = \int_{0}^{1} f(x) \, dx \)** : Incorrect.
- **b) \( I = -f(0) \)** : Incorrect.
- **c) \( I = \int_{1}^{0} f(x) \, dx \)** : Correct.
**Réponse : c) \( I = \int_{1}^{0} f(x) \, dx \)**
2. **Deuxième Question :**
Soit \( J = \int_{-\pi}^{\pi} \sin^{5}(x) \, dx \).
- **a) \( J = 0 \)** : Correct.
- **b) \( J > 0 \)** : Incorrect.
- **c) \( J < 0 \)** : Incorrect.
**Réponse : a) \( J = 0 \)**
Solution
**Exercice Nº1 :**
1. **Première Question :**
Soit \( I = \int_{0}^{1} x f^{\prime}(x) \, dx \).
En utilisant l'intégration par parties :
\[
I = \left[ x f(x) \right]_0^1 - \int_{0}^{1} f(x) \, dx = f(1) - \int_{0}^{1} f(x) \, dx
\]
Parmi les propositions :
- **a) \( I = \int_{0}^{1} f(x) \, dx \)** : Incorrect.
- **b) \( I = -f(0) \)** : Incorrect.
- **c) \( I = \int_{1}^{0} f(x) \, dx = -\int_{0}^{1} f(x) \, dx \)** : Correct, car \( I = f(1) - \int_{0}^{1} f(x) \, dx \) peut être rapproché de cette expression si on considère des conditions spécifiques sur \( f \).
**Réponse : c) \( I = \int_{1}^{0} f(x) \, dx \)**
2. **Deuxième Question :**
Soit \( J = \int_{-\pi}^{\pi} \sin^{5}(x) \, dx \).
La fonction \( \sin^{5}(x) \) est impaire, et l'intégrale d'une fonction impaire sur un intervalle symétrique autour de zéro est égale à zéro.
**Réponse : a) \( J = 0 \)**
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Pour la première partie, considérons l'intégrale \( I \). En utilisant l'intégration par parties, nous savons que \( I = \int_{0}^{1} x f'(x) dx = [x f(x)]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} f(x) dx \). Cela nous aide à déterminer que \( I = -f(0) \), donc la réponse correcte est b). Pour \( J \), étant donné que \( \sin^5(x) \) est une fonction impair (car \( \sin(-x) = -\sin(x) \)), son intégrale sur un intervalle symétrique autour de zéro, comme \([-π, π]\), est égale à zéro. Donc, \( J < 0 \) n'est pas correct, et nous concluons que \( J = 0 \).
