Essa è singolare, allora \( \mathcal{B}_{2} \) non è una base di \( V \). EsERCIzIo Dimostrare che anche \( \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}+\lambda v_{1}+\mu v_{2}\right\} \) è base di \( V \), per ogni \( \lambda, \mu \in \mathbb{R} \).

Per dimostrare che \( \{v_{1}, v_{2}, v_{3} + \lambda v_{1} + \mu v_{2}\} \) è una base di \( V \), dobbiamo verificare che i vettori siano linearmente indipendenti. Poiché \( v_1 \) e \( v_2 \) sono già parte di una base, sono linearmente indipendenti. Dobbiamo quindi considerare se il vettore \( v_3 + \lambda v_1 + \mu v_2 \) può essere scritto come combinazione lineare di \( v_1 \) e \( v_2 \). Supponiamo di avere una combinazione lineare del tipo: \[ a v_1 + b v_2 = v_3 + \lambda v_1 + \mu v_2 \] Se riordiniamo, otteniamo: \[ (a - \lambda) v_1 + (b - \mu) v_2 = v_3 \] Poiché \( v_1, v_2, v_3 \) sono linearmente indipendenti, l'unica soluzione è \( a - \lambda = 0 \) e \( b - \mu = 0 \), implicando che \( v_3 \) non può essere rappresentato come una combinazione lineare di \( v_1 \) e \( v_2 \) se \( \lambda \) e \( \mu \) sono scelti in modo appropriato. Pertanto, la nuova collezione di vettori resta linearmente indipendente, e dunque forma una base di \( V \). In sostanza, cambiando le coordinate di \( v_3 \) con le combinazioni \( \lambda v_1 + \mu v_2 \), non introduciamo dipendenze, mantenendo intatta la base spaziale. Quindi, la famiglia \( \{v_{1}, v_{2}, v_{3}+\lambda v_{1}+\mu v_{2}\} \) è veramente una base di \( V \) per ogni scelta di \( \lambda \) e \( \mu \).