Essa è singolare, allora $$ \mathcal{B}_{2} $$ non è una base di $$ V $$. EsERCIzIo Dimostrare che anche $$ \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}+\lambda v_{1}+\mu v_{2}\right\} $$ è base di $$ V $$, per ogni $$ \lambda, \mu \in \mathbb{R} $$.

Question

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Okay, mi sto confrontando con un problema di algebra lineare. Abbiamo un vettore spazio $$ V $$ e una base $$ \mathcal{B}_{2} $$ che non è una base di $$ V $$. Poi c'è un esercizio che chiede di dimostrare che l'insieme $$ \{v_{1}, v_{2}, v_{3} + \lambda v_{1} + \mu v_{2}\} $$ è una base di $$ V $$ per ogni $$ \lambda, \mu \in \mathbb{R} $$.

Prima di tutto, devo capire perché $$ \mathcal{B}_{2} $$ non è una base di $$ V $$. Forse perché non è linealmente indipendente o perché non copre tutto lo spazio $$ V $$. Ma il problema specifica che $$ \mathcal{B}_{2} $$ non è una base, quindi devo considerare entrambe le possibilità.

Ora, passando all'esercizio principale. Devo dimostrare che l'insieme $$ \{v_{1}, v_{2}, v_{3} + \lambda v_{1} + \mu v_{2}\} $$ è una base di $$ V $$ per ogni $$ \lambda, \mu \in \mathbb{R} $$. Per fare questo, devo verificare due cose: che l'insieme sia linealmente indipendente e che copra lo spazio $$ V $$.

Iniziamo con la linearità indipendenza. Supponiamo che $$ a v_{1} + b v_{2} + c (v_{3} + \lambda v_{1} + \mu v_{2}) = 0 $$. Dobbiamo dimostrare che $$ a = b = c = 0 $$.

Sviluppando l'equazione, otteniamo:
$$ a v_{1} + b v_{2} + c v_{3} + \lambda c v_{1} + \mu c v_{2} = 0 $$
$$ (a + \lambda c) v_{1} + (b + \mu c) v_{2} + c v_{3} = 0 $$

Poiché $$ \{v_{1}, v_{2}, v_{3}\} $$ è una base di $$ V $$, essi sono linearmente indipendenti. Quindi, per l'equazione sopra essere vera, devono valere:
$$ a + \lambda c = 0 $$
$$ b + \mu c = 0 $$
$$ c = 0 $$

Dalla terza equazione, $$ c = 0 $$. Sostituendo in queste, otteniamo $$ a = 0 $$ e $$ b = 0 $$. Quindi, l'insieme è linealmente indipendente.

Ora, per verificare che copre $$ V $$, consideriamo che $$ \{v_{1}, v_{2}, v_{3}\} $$ è una base, quindi ogni vettore in $$ V $$ può essere espresso come combinazione lineare di questi tre vettori. Poiché abbiamo aggiunto $$ \lambda v_{1} + \mu v_{2} $$ a $$ v_{3} $$, l'insieme $$ \{v_{1}, v_{2}, v_{3} + \lambda v_{1} + \mu v_{2}\} $$ contiene tutti i vettori necessari per generare qualsiasi vettore in $$ V $$.

In conclusione, l'insieme $$ \{v_{1}, v_{2}, v_{3} + \lambda v_{1} + \mu v_{2}\} $$ è linealmente indipendente e genera $$ V $$, quindi è una base di $$ V $$ per ogni $$ \lambda, \mu \in \mathbb{R} $$.

L'insieme $$ \{v_{1}, v_{2}, v_{3} + \lambda v_{1} + \mu v_{2}\} $$ è una base di $$ V $$ per ogni $$ \lambda, \mu \in \mathbb{R} $$.

Essa è singolare, allora non è una base di .
EsERCIzIo
Dimostrare che anche è base di , per ogni .

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Essa è singolare, allora non è una base di . EsERCIzIo Dimostrare che anche è base di , per ogni .