Pregunta
Essa è singolare, allora
non è una base di
.
EsERCIzIo
Dimostrare che anche
è base di
, per ogni
.
EsERCIzIo
Dimostrare che anche
Ask by Parry Moreno. in Italy
Jan 20,2025
Solución de inteligencia artificial de Upstudy
Respuesta verificada por el tutor
Responder
L’insieme
è una base di
per ogni
.
Solución
Okay, mi sto confrontando con un problema di algebra lineare. Abbiamo un vettore spazio
e una base
che non è una base di
. Poi c’è un esercizio che chiede di dimostrare che l’insieme
è una base di
per ogni
.
Prima di tutto, devo capire perché
non è una base di
. Forse perché non è linealmente indipendente o perché non copre tutto lo spazio
. Ma il problema specifica che
non è una base, quindi devo considerare entrambe le possibilità.
Ora, passando all’esercizio principale. Devo dimostrare che l’insieme
è una base di
per ogni
. Per fare questo, devo verificare due cose: che l’insieme sia linealmente indipendente e che copra lo spazio
.
Iniziamo con la linearità indipendenza. Supponiamo che
. Dobbiamo dimostrare che
.
Sviluppando l’equazione, otteniamo:
Poiché
è una base di
, essi sono linearmente indipendenti. Quindi, per l’equazione sopra essere vera, devono valere:
Dalla terza equazione,
. Sostituendo in queste, otteniamo
e
. Quindi, l’insieme è linealmente indipendente.
Ora, per verificare che copre
, consideriamo che
è una base, quindi ogni vettore in
può essere espresso come combinazione lineare di questi tre vettori. Poiché abbiamo aggiunto
a
, l’insieme
contiene tutti i vettori necessari per generare qualsiasi vettore in
.
In conclusione, l’insieme
è linealmente indipendente e genera
, quindi è una base di
per ogni
.
Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional
Como
error msg


Bonus Knowledge
Per dimostrare che
è una base di
, dobbiamo verificare che i vettori siano linearmente indipendenti. Poiché
e
sono già parte di una base, sono linearmente indipendenti. Dobbiamo quindi considerare se il vettore
può essere scritto come combinazione lineare di
e
.
Supponiamo di avere una combinazione lineare del tipo:
Se riordiniamo, otteniamo:
Poiché
sono linearmente indipendenti, l’unica soluzione è
e
, implicando che
non può essere rappresentato come una combinazione lineare di
e
se
e
sono scelti in modo appropriato. Pertanto, la nuova collezione di vettori resta linearmente indipendente, e dunque forma una base di
.
In sostanza, cambiando le coordinate di
con le combinazioni
, non introduciamo dipendenze, mantenendo intatta la base spaziale. Quindi, la famiglia
è veramente una base di
per ogni scelta di
e
.

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