Bestimme den Abstand des Punktes \( \mathrm{P}_{(10|4| 3)} \) von der Ebene E: \( -6 x_{1}+2 x_{2}-3 x_{3}=-12 \). Gib einen weiteren Punkt Q an, der den gleichen Abstand zu E Kat.
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Um den Abstand des Punktes \( \mathrm{P}_{(10|4|3)} \) von der Ebene \( E: -6 x_{1} + 2 x_{2} - 3 x_{3} = -12 \) zu bestimmen, nutzen wir die Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene. Die allgemeine Formel lautet: \[ d = \frac{|Ax_1 + By_2 + Cz_3 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Hierbei ist \( A = -6 \), \( B = 2 \), \( C = -3 \) und \( D = 12 \) (da wir die Gleichung umstellen müssen). Für den Punkt \( \mathrm{P}_{(10|4|3)} \) setzen wir die Koordinaten in die Gleichung ein: \[ d = \frac{|-6 \cdot 10 + 2 \cdot 4 - 3 \cdot 3 + 12|}{\sqrt{(-6)^2 + 2^2 + (-3)^2}} = \frac{|-60 + 8 - 9 + 12|}{\sqrt{36 + 4 + 9}} = \frac{|-49|}{\sqrt{49}} = \frac{49}{7} = 7 \] Der Abstand beträgt also \( d = 7 \). Um einen weiteren Punkt \( Q \) anzugeben, der den gleichen Abstand zur Ebene hat, könnten wir beispielsweise den Punkt \( Q(10|4|3+7) = (10|4|10) \) wählen. Dieser Punkt liegt auf der Linie, die senkrecht zur Ebene steht, und hat somit den gleichen Abstand von der Ebene.
