Bestimme den Abstand des Punktes \( \mathrm{P}_{(10|4| 3)} \) von der Ebene E: \( -6 x_{1}+2 x_{2}-3 x_{3}=-12 \). Gib einen weiteren Punkt Q an, der den gleichen Abstand zu E Kat.

Um den Abstand des Punktes \( \mathrm{P}(10\,|\,4\,|\,3) \) von der Ebene \( E: -6x_{1} + 2x_{2} - 3x_{3} = -12 \) zu bestimmen, verwenden wir die Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene: \[ d = \frac{|\mathbf{a} \cdot \mathbf{P} + d|}{\|\mathbf{a}\|} \] Dabei ist \(\mathbf{a} = (-6, 2, -3)\) der Normalenvektor der Ebene und \(d = 12\) der Verschiebungsterm. **Berechnung des Abstands:** 1. **Numerator (Zähler):** \[ |-6 \cdot 10 + 2 \cdot 4 - 3 \cdot 3 + 12| = |-60 + 8 - 9 + 12| = |-49| = 49 \] 2. **Denominator (Nenner):** \[ \|\mathbf{a}\| = \sqrt{(-6)^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7 \] 3. **Abstand:** \[ d = \frac{49}{7} = 7 \text{ Einheiten} \] **Bestimmung eines weiteren Punktes \( \mathrm{Q} \) mit dem gleichen Abstand:** Um einen weiteren Punkt \( \mathrm{Q} \) zu finden, der den gleichen Abstand von 7 Einheiten zur Ebene \( E \) hat, können wir den Punkt \( \mathrm{P} \) spiegeln: 1. **Projektion von \( \mathrm{P} \) auf \( E \):** \[ \mathbf{S} = \mathbf{P} - \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{P} + d}{\|\mathbf{a}\|^2} \mathbf{a} = (10, 4, 3) - \frac{-49}{49} (-6, 2, -3) = (10, 4, 3) - (6, -2, 3) = (4, 6, 0) \] 2. **Spiegelung von \( \mathrm{P} \) durch \( \mathbf{S} \):** \[ \mathbf{Q} = 2\mathbf{S} - \mathbf{P} = 2(4, 6, 0) - (10, 4, 3) = (-2, 8, -3) \] 3. **Überprüfung des Abstands von \( \mathrm{Q} \) zur Ebene \( E \):** \[ d_{\mathrm{Q}} = \frac{|-6 \cdot (-2) + 2 \cdot 8 - 3 \cdot (-3) + 12|}{7} = \frac{|12 + 16 + 9 + 12|}{7} = \frac{49}{7} = 7 \text{ Einheiten} \] **Ergebnis:** Der Abstand des Punktes \( \mathrm{P}(10\,|\,4\,|\,3) \) von der Ebene \( E \) beträgt **7 Einheiten**. Ein weiterer Punkt \( \mathrm{Q}(-2\,|\,8\,|\,-3) \) hat den gleichen Abstand zur Ebene \( E \).