Aufgabe: (2 Punkte) Berechne den Durchstoßpunkt der Geraden g: \( \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-4 \\ -9 \\ 0\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 2\end{array}\right) \) mit der Ebene \( \mathrm{E}: \) \( 9 x_{1}-2 x_{2}-2 x_{3}=-18 \) D( \( \square \), \( \square \) :

Um den Durchstoßpunkt \( D \) der Geraden \( g \) mit der Ebene \( \mathrm{E} \) zu berechnen, setzen wir die Parametergleichung der Geraden in die Ebenengleichung ein. **Gegeben:** - Gerade \( g \): \[ \vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ -9 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \] Das bedeutet: \[ x_1 = -4 + 3t, \quad x_2 = -9 + 3t, \quad x_3 = 0 + 2t \] - Ebene \( \mathrm{E} \): \[ 9x_1 - 2x_2 - 2x_3 = -18 \] **Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:** \[ 9(-4 + 3t) - 2(-9 + 3t) - 2(2t) = -18 \] \[ -36 + 27t + 18 - 6t - 4t = -18 \] \[ -18 + 17t = -18 \] \[ 17t = 0 \quad \Rightarrow \quad t = 0 \] **Bestimmung des Durchstoßpunkts \( D \):** Setzen wir \( t = 0 \) in die Geradengleichung ein: \[ x_1 = -4 + 3(0) = -4 \] \[ x_2 = -9 + 3(0) = -9 \] \[ x_3 = 0 + 2(0) = 0 \] \ **Durchstoßpunkt:** \[ D(-4,\ -9,\ 0) \]