$$ \left. \begin{array} { l | l | } \hline 7 & { \frac { 7 ^ { x } + 1 } { 7 x - 49 } \geq 0 } \ \hline 8 & { \frac { 9 ^ { x } - 81 } { 9 x + 81 } 0 } \ \hline \end{array} ight. $$

Question

$$ \left. \begin{array} { l | l | } \hline 7 & { \frac { 7 ^ { x } + 1 } { 7 x - 49 } \geq 0 } \ \hline 8 & { \frac { 9 ^ { x } - 81 } { 9 x + 81 } > 0 } \ \hline \end{array} ight. $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Certamente, risolviamo ciascuna delle due disequazioni passo dopo passo. --- ### **7. $$\frac{7^{x} + 1}{7x - 49} \geq 0$$** **Passo 1: Analisi del numeratore e del denominatore** - **Numeratore:** $$7^{x} + 1$$ - Poiché $$7^{x} > 0$$ per ogni $$x \in \mathbb{R}$$, il numeratore è sempre positivo: $$7^{x} + 1 > 0$$. - **Denominatore:** $$7x - 49 = 7(x - 7)$$ - Il denominatore è **zero** quando $$x = 7$$. - $$7x - 49 > 0$$ quando $$x > 7$$. - $$7x - 49 < 0$$ quando $$x < 7$$. **Passo 2: Determinare i segni della frazione** La frazione $$\frac{7^{x} + 1}{7x - 49}$$ sarà: - **Positiva** quando numeratore e denominatore hanno lo stesso segno. - Dato che il numeratore è sempre positivo, la frazione è positiva quando il denominatore è positivo: $$x > 7$$. - **Negativa** quando numeratore e denominatore hanno segni opposti. - Questo avviene quando $$x < 7$$, ma dato che la disequazione richiede $$\geq 0$$, non consideriamo questa area. **Passo 3: Considerare i punti critici** - **$$x = 7$$:** La frazione non è definita (denominatore zero). Quindi, $$x = 7$$ non è incluso nell'insieme soluzione. **Soluzione finale:** $$ x > 7 $$ --- ### **8. $$\frac{9^{x} - 81}{9x + 81} > 0$$** **Passo 1: Semplificare l'espressione** - **Numeratore:** $$9^{x} - 81 = 9^{x} - 9^{2}$$ - **Denominatore:** $$9x + 81 = 9(x + 9)$$ **Passo 2: Trovare i punti critici** - **Numeratore zero:** $$9^{x} - 81 = 0 \Rightarrow 9^{x} = 81 \Rightarrow 9^{x} = 9^{2} \Rightarrow x = 2$$ - **Denominatore zero:** $$9x + 81 = 0 \Rightarrow x = -9$$ **Passo 3: Analizzare gli intervalli determinati dai punti critici** Divideremo la retta reale in tre intervalli: 1. $$x < -9$$ 2. $$-9 < x < 2$$ 3. $$x > 2$$ **Analisi per ogni intervallo:** 1. **Intervallo $$x < -9$$:** - **Numeratore:** $$9^{x} $$ tende a 0, quindi $$9^{x} - 81 < 0$$ - **Denominatore:** $$9x + 81 < 0$$ - **Frazione:** Negativo / Negativo = Positivo 2. **Intervallo $$-9 < x < 2$$:** - **Numeratore:** $$9^{x} - 81 < 0$$ (poiché $$9^{x}$$ aumenta con $$x$$, ma per $$x < 2$$, $$9^{x} < 81$$) - **Denominatore:** $$9x + 81 > 0$$ - **Frazione:** Negativo / Positivo = Negativo 3. **Intervallo $$x > 2$$:** - **Numeratore:** $$9^{x} - 81 > 0$$ (poiché $$x > 2$$, $$9^{x} > 81$$) - **Denominatore:** $$9x + 81 > 0$$ - **Frazione:** Positivo / Positivo = Positivo **Passo 4: Considerare i punti critici** - **$$x = -9$$:** La frazione non è definita. - **$$x = 2$$:** La frazione è zero, ma la disequazione è strettamente maggiore di zero, quindi $$x = 2$$ non è incluso. **Soluzione finale:** $$ x < -9 \quad \text{oppure} \quad x > 2 $$ In notazione intervallare: $$ x \in (-\infty, -9) \cup (2, +\infty) $$ --- **Riassunto delle soluzioni:** - **Inequazione 7:** $$x > 7$$ - **Inequazione 8:** $$x < -9$$ oppure $$x > 2$$ **Risultati delle disequazioni:** 1. **Per $$7^{x} + 1 \geq 0$$:** $$ x > 7 $$ 2. **Per $$9^{x} - 81 > 0$$:** $$ x < -9 \quad \text{oppure} \quad x > 2 $$ In notazione intervallare: $$ x \in (-\infty, -9) \cup (2, +\infty) $$

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7.

8.

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