Déduire la comparaison de \( \frac{9}{-3 \sqrt{5}+10} \) et \( \frac{9}{-4 \sqrt{2}+10} \). \( m \) et \( n \) deux nombres réels non nuls, Montrer que \( (m+n)^{2}>2 m n \).

Pour comparer les deux fractions \( \frac{9}{-3 \sqrt{5}+10} \) et \( \frac{9}{-4 \sqrt{2}+10} \), il suffit d'examiner les dénominateurs. En simplifiant, examinons les valeurs numériques des dénominateurs : \( -3 \sqrt{5} + 10 \) et \( -4 \sqrt{2} + 10 \). Puisque \( \sqrt{5} \approx 2.236 \), on obtient environ \( -6.708 + 10 = 3.292 \). Pour \( \sqrt{2} \approx 1.414 \), cela donne \( -5.656 + 10 = 4.344 \). Comme \( -3\sqrt{5} + 10 < -4 \sqrt{2} + 10 \), nous pouvons dire que \( \frac{9}{-3 \sqrt{5}+10} > \frac{9}{-4 \sqrt{2}+10} \). Quant à la relation \( (m+n)^{2} > 2mn \), elle découle directement de l'inégalité de Cauchy-Schwarz ou du développement du binôme. En effet, \( (m+n)^{2} = m^2 + 2mn + n^2 \), et il est évident que \( m^2 + n^2 \) est toujours positif pour des nombres réels non nuls. Ainsi, en ajoutant cela à \( 2mn \), on a donc \( (m+n)^{2} > 2mn \) si \( m \) et \( n \) ne sont pas tous deux nuls, ce qui valide l'inégalité.