Déduire la comparaison de $$ \frac{9}{-3 \sqrt{5}+10} $$ et $$ \frac{9}{-4 \sqrt{2}+10} $$. $$ m $$ et $$ n $$ deux nombres réels non nuls, Montrer que $$ (m+n)^{2}2 m n $$.

Question

Déduire la comparaison de $$ \frac{9}{-3 \sqrt{5}+10} $$ et $$ \frac{9}{-4 \sqrt{2}+10} $$. $$ m $$ et $$ n $$ deux nombres réels non nuls, Montrer que $$ (m+n)^{2}>2 m n $$.

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**Comparaison de $$ \frac{9}{-3 \sqrt{5}+10} $$ et $$ \frac{9}{-4 \sqrt{2}+10} $$** Pour comparer les deux fractions, nous observons d'abord les dénominateurs : 1. Calculons les dénominateurs : $$ D_1 = -3\sqrt{5} + 10 \approx -3 \times 2{,}236 + 10 \approx -6{,}708 + 10 = 3{,}292 $$ $$ D_2 = -4\sqrt{2} + 10 \approx -4 \times 1{,}414 + 10 \approx -5{,}656 + 10 = 4{,}344 $$ 2. Comparons les dénominateurs : $$ D_1 = 3{,}292 \quad \text{et} \quad D_2 = 4{,}344 $$ On constate que $$ D_1 < D_2 $$. 3. Comme les deux dénominateurs sont positifs et que $$ D_1 < D_2 $$, l'inverse des dénominateurs respectifs respectera l'inégalité opposée : $$ \frac{1}{D_1} > \frac{1}{D_2} $$ En multipliant par 9 (positif), l'inégalité reste : $$ \frac{9}{D_1} > \frac{9}{D_2} $$ Donc : $$ \frac{9}{-3 \sqrt{5} + 10} > \frac{9}{-4 \sqrt{2} + 10} $$ **Démonstration que $$ (m+n)^2 > 2mn $$ pour $$ m $$ et $$ n $$ réels non nuls** 1. Développons le carré de $$ m + n $$ : $$ (m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 $$ 2. Soustrayons $$ 2mn $$ des deux côtés : $$ (m + n)^2 - 2mn = m^2 + n^2 $$ 3. Puisque $$ m $$ et $$ n $$ sont réels et non nuls, $$ m^2 > 0 $$ et $$ n^2 > 0 $$. Ainsi : $$ m^2 + n^2 > 0 $$ Donc : $$ (m + n)^2 - 2mn > 0 \implies (m + n)^2 > 2mn $$ Cela conclut la démonstration. $$ \frac{9}{-3 \sqrt{5} + 10} > \frac{9}{-4 \sqrt{2} + 10} $$ et $$ (m + n)^2 > 2mn $$ pour $$ m $$ et $$ n $$ réels non nuls.

Déduire la comparaison de et .
et deux nombres réels non nuls, Montrer que .

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