$$ y d x + ( 2 x y - e ^ { - 2 y } ) d y = 0 $$

Question

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Considere la ecuación diferencial

$$
y\,dx + \left(2xy - e^{-2y}\right)dy = 0.
$$

Comenzamos dividiendo entre $$ y $$ (asumiendo $$ y \neq 0 $$):

$$
dx + \left(2x - \frac{e^{-2y}}{y}\right)dy = 0.
$$

Lo que se puede escribir como una ecuación diferencial lineal en $$ x $$ respecto a $$ y $$:

$$
\frac{dx}{dy} + 2x = \frac{e^{-2y}}{y}.
$$

### 1. Identificación de la forma estándar y factor integrante

La forma estándar de una ecuación lineal es

$$
\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y),
$$

con

$$
P(y) = 2 \quad \text{y} \quad Q(y) = \frac{e^{-2y}}{y}.
$$

El factor integrante $$\mu(y)$$ se calcula como

$$
\mu(y) = e^{\int P(y)dy} = e^{\int 2dy} = e^{2y}.
$$

### 2. Multiplicación de la EDO por el factor integrante

Multiplicamos toda la ecuación por $$ e^{2y} $$:

$$
e^{2y}\frac{dx}{dy} + 2e^{2y}x = e^{2y} \cdot \frac{e^{-2y}}{y} = \frac{1}{y}.
$$

Observe que el lado izquierdo es la derivada del producto $$ e^{2y}x $$. Es decir,

$$
\frac{d}{dy}\left(e^{2y}x\right) = \frac{1}{y}.
$$

### 3. Integración

Integramos ambos lados respecto a $$ y $$:

$$
\int \frac{d}{dy}\left(e^{2y}x\right)dy = \int \frac{1}{y}dy.
$$

Lo que da como resultado:

$$
e^{2y}x = \ln |y| + C,
$$

siendo $$ C $$ la constante de integración.

### 4. Despejar la solución para $$ x $$

Finalmente, despejamos $$ x $$:

$$
x = e^{-2y}\left(\ln |y| + C\right).
$$

Esta es la solución general de la ecuación diferencial dada.
La solución general de la ecuación diferencial $$ y\,dx + (2xy - e^{-2y})dy = 0 $$ es: $$ x = e^{-2y}(\ln |y| + C), $$ donde $$ C $$ es una constante de integración.

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