(5) Si \( F(x)=\frac{\cos 2 x-\cos ^{2} x}{1-\operatorname{sen}^{2} x} ; G(x)=\tan ^{2} x ; H(x)=\operatorname{sen} x \) a) Pruebe que pora todos hos ralnes adnuisebles de la roriable se cumple \( F(x)=-G(x) \) b) calcule \( H\left(\frac{31}{4}\right) \)

a) **Prueba de que \( F(x) = -G(x) \) para todos los valores reales admisibles:** Dadas las funciones: \[ F(x) = \frac{\cos 2x - \cos^{2}x}{1 - \sin^{2}x} \] \[ G(x) = \tan^{2}x \] Vamos a simplificar \( F(x) \): 1. **Simplificar el denominador:** \[ 1 - \sin^{2}x = \cos^{2}x \] Entonces: \[ F(x) = \frac{\cos 2x - \cos^{2}x}{\cos^{2}x} = \frac{\cos 2x}{\cos^{2}x} - 1 \] 2. **Expresar \( \cos 2x \) en términos de \( \cos^{2}x \):** \[ \cos 2x = 2\cos^{2}x - 1 \] Sustituyendo: \[ F(x) = \frac{2\cos^{2}x - 1}{\cos^{2}x} - 1 = 2 - \frac{1}{\cos^{2}x} - 1 = 1 - \sec^{2}x \] 3. **Relacionar con \( \tan^{2}x \):** Sabemos que: \[ \sec^{2}x = 1 + \tan^{2}x \] Entonces: \[ F(x) = 1 - (1 + \tan^{2}x) = -\tan^{2}x = -G(x) \] Por lo tanto, se cumple que \( F(x) = -G(x) \) para todos los valores de \( x \) en los que ambas funciones están definidas. b) **Cálculo de \( H\left(\frac{31}{4}\right) \):** Dada la función: \[ H(x) = \sin x \] Calculamos: \[ H\left(\frac{31}{4}\right) = \sin\left(\frac{31}{4}\right) \] Primero, notamos que \( \frac{31}{4} \) radianes es mayor que \( 2\pi \) radianes, por lo que podemos reducirlo utilizando la periodicidad de la función seno: \[ \frac{31}{4} \text{ rad} \approx 7.75 \text{ rad} \] \[ 7.75 - 2\pi \approx 1.4668 \text{ rad} \] Entonces: \[ \sin\left(\frac{31}{4}\right) = \sin(1.4668) \approx 0.9945 \] **Respuesta Final:** a) Se cumple que \( F(x) = -G(x) \) para todos los números reales admitidos. b) \( H\left(\frac{31}{4}\right) \approx 0.995 \).