(5) Si $$ F(x)=\frac{\cos 2 x-\cos ^{2} x}{1-\operatorname{sen}^{2} x} ; G(x)= an ^{2} x ; H(x)=\operatorname{sen} x $$ a) Pruebe que pora todos hos ralnes adnuisebles de la roriable se cumple $$ F(x)=-G(x) $$ b) calcule $$ H\left(\frac{31}{4} ight) $$

Question

(5) Si $$ F(x)=\frac{\cos 2 x-\cos ^{2} x}{1-\operatorname{sen}^{2} x} ; G(x)=	an ^{2} x ; H(x)=\operatorname{sen} x $$ a) Pruebe que pora todos hos ralnes adnuisebles de la roriable se cumple $$ F(x)=-G(x) $$ b) calcule $$ H\left(\frac{31}{4}ight) $$

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a) **Prueba de que $$ F(x) = -G(x) $$ para todos los valores reales admisibles:**

Dadas las funciones:
$$ F(x) = \frac{\cos 2x - \cos^{2}x}{1 - \sin^{2}x} $$
$$ G(x) = \tan^{2}x $$

Vamos a simplificar $$ F(x) $$:

1. **Simplificar el denominador:**
   $$
   1 - \sin^{2}x = \cos^{2}x
   $$
   Entonces:
   $$
   F(x) = \frac{\cos 2x - \cos^{2}x}{\cos^{2}x} = \frac{\cos 2x}{\cos^{2}x} - 1
   $$

2. **Expresar $$ \cos 2x $$ en términos de $$ \cos^{2}x $$:**
   $$
   \cos 2x = 2\cos^{2}x - 1
   $$
   Sustituyendo:
   $$
   F(x) = \frac{2\cos^{2}x - 1}{\cos^{2}x} - 1 = 2 - \frac{1}{\cos^{2}x} - 1 = 1 - \sec^{2}x
   $$
   
3. **Relacionar con $$ \tan^{2}x $$:**
   Sabemos que:
   $$
   \sec^{2}x = 1 + \tan^{2}x
   $$
   Entonces:
   $$
   F(x) = 1 - (1 + \tan^{2}x) = -\tan^{2}x = -G(x)
   $$
   
Por lo tanto, se cumple que $$ F(x) = -G(x) $$ para todos los valores de $$ x $$ en los que ambas funciones están definidas.

b) **Cálculo de $$ H\left(\frac{31}{4}\right) $$:**

Dada la función:
$$ H(x) = \sin x $$

Calculamos:
$$
H\left(\frac{31}{4}\right) = \sin\left(\frac{31}{4}\right)
$$

Primero, notamos que $$ \frac{31}{4} $$ radianes es mayor que $$ 2\pi $$ radianes, por lo que podemos reducirlo utilizando la periodicidad de la función seno:
$$
\frac{31}{4} \text{ rad} \approx 7.75 \text{ rad}
$$
$$
7.75 - 2\pi \approx 1.4668 \text{ rad}
$$
Entonces:
$$
\sin\left(\frac{31}{4}\right) = \sin(1.4668) \approx 0.9945
$$

**Respuesta Final:**
  
a) Se cumple que $$ F(x) = -G(x) $$ para todos los números reales admitidos.  
b) $$ H\left(\frac{31}{4}\right) \approx 0.995 $$.
a) Se demuestra que $$ F(x) = -G(x) $$ para todos los valores de $$ x $$ donde las funciones están definidas. b) $$ H\left(\frac{31}{4}\right) \approx 0.995 $$.

(5) Si
a) Pruebe que pora todos hos ralnes adnuisebles de
la roriable se cumple
b) calcule

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