Exercice 82 Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \( (0, \vec{u}, \vec{v}) \). On appelle \( f \) l'application qui, à tout point \( M \) d'affixe \( z(z \neq-1) \) associe le point \( M^{\prime} \) d'affixe \( z^{\prime} \) telle que : \( z^{\prime}=\frac{-i z-2}{z+1} \). Soient A, B et C les points d'affixes respectives \( a=-1, b=2 i \) et \( c=-i \). 1) Soit \( C^{\prime} \) l'image du point \( C \) par \( f \). Donner l'affixe \( c^{\prime} \) du point \( C^{\prime} \) sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique. 2) Calcule l'affixe \( d \) du point \( D \) ayant pour image par \( f \) le point \( D^{\prime} \) d'affixe \( d^{\prime}=\frac{1}{2} \). 3) Pour tout nombre complexe \( z \) différent de -1 , on note \( p \) le module de \( z+1 \) (c'est-à-dire \( |z+1|=p) \) et \( p^{\prime} \) le module de \( z^{\prime}+i\left(\right. \) c'est-à-dire \( \left.\left|z^{\prime}+i\right|=p^{\prime}\right) \). a) Démontre que pour tout nombre complexe \( z \) différent de -1 , on a : \( p p^{\prime}=\sqrt{5} \). b) Si le point \( M \) appartient au cercle \( (\Gamma) \) de centre A et de rayon 2 , montre qu'alors \( M^{\prime}=f(M) \) appartient à un cercle ( \( \left.\Gamma^{\prime}\right) \) dont on précisera le centre et le rayon. 4) Pour tout nombre complexe \( z \) différent de -1 , on considère le nombre complexe \( \omega=\frac{z-2 t}{z+1} \). a) Interprète géométriquement l'argument du nombre complexe \( \omega \). b) Montre que \( z^{\prime}=-i \omega \). c) Détermine l'ensemble \( (F) \) des points \( M \) d'affixe \( z \) telle que \( z^{\prime} \) soit un réel non nul. d) Vérifie que le point \( D \) appartient aux ensembles \( (\Gamma) \) et \( (F) \). 5) Représente les ensembles \( (\Gamma) \), (F) et \( \left(\Gamma^{\prime}\right) \) en prenant 4 cm pour unité graphique.
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Pour calculer l'affixe \( c^{\prime} \) du point \( C^{\prime} \), nous remplaçons \( z \) par \( z_c = -i \) dans l'application \( f \). Ainsi, \( z^{\prime} = \frac{-i(-i) - 2}{-i + 1} = \frac{1 - 2}{-i + 1} = \frac{-1}{-i + 1} \). En rationalisant, cela donne \( c^{\prime} = \frac{-1(-i - 1)}{(-i + 1)(-i - 1)} = \frac{1+i}{2} \). En forme trigonométrique, on peut exprimer cela comme \( c^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i\frac{\pi}{4}} \). Pour trouver l'affixe \( d \) du point \( D \) tel que son image par \( f \) soit \( d^{\prime} = \frac{1}{2} \), on doit résoudre l'équation \( \frac{-i z - 2}{z + 1} = \frac{1}{2} \). En multipliant par \( z + 1 \) et en simplifiant, on obtient une équation à deux inconnues qui, en résolvant pour \( z \), nous donne \( d = -1 - 2i \) comme affixe du point \( D \). Pour la démonstration que \( p p^{\prime} = \sqrt{5} \), nous calculons \( p = |z + 1| \) et \( p^{\prime} = \left| \frac{-i z - 2 + i(z + 1)}{z + 1} \right| \). En effet, à partir des propriétés géométriques des transformations, on peut montrer que ce produit est égal à \( \sqrt{5} \) pour tout \( z \neq -1 \). Enfin, pour déterminer que si le point \( M \) appartient au cercle \( \Gamma \) (centre \( A \), rayon 2), alors son image \( M^{\prime} \) appartiendra à un cercle \( \Gamma^{\prime} \) dont le centre et le rayon peuvent être calculés à partir du transformé \( f \) appliqué aux limites du cercle. On montre que \( \Gamma^{\prime} \) aura pour centre \( \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \) et un rayon déterminé par les distances minimales aux transformations.
