Exercice 82 Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct $$ (0, \vec{u}, \vec{v}) $$. On appelle $$ f $$ l'application qui, à tout point $$ M $$ d'affixe $$ z(z
eq-1) $$ associe le point $$ M^{\prime} $$ d'affixe $$ z^{\prime} $$ telle que : $$ z^{\prime}=\frac{-i z-2}{z+1} $$. Soient A, B et C les points d'affixes respectives $$ a=-1, b=2 i $$ et $$ c=-i $$. 1) Soit $$ C^{\prime} $$ l'image du point $$ C $$ par $$ f $$. Donner l'affixe $$ c^{\prime} $$ du point $$ C^{\prime} $$ sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique. 2) Calcule l'affixe $$ d $$ du point $$ D $$ ayant pour image par $$ f $$ le point $$ D^{\prime} $$ d'affixe $$ d^{\prime}=\frac{1}{2} $$. 3) Pour tout nombre complexe $$ z $$ différent de -1 , on note $$ p $$ le module de $$ z+1 $$ (c'est-à-dire $$ |z+1|=p) $$ et $$ p^{\prime} $$ le module de $$ z^{\prime}+i\left( ight. $$ c'est-à-dire $$ \left.\left|z^{\prime}+i ight|=p^{\prime} ight) $$. a) Démontre que pour tout nombre complexe $$ z $$ différent de -1 , on a : $$ p p^{\prime}=\sqrt{5} $$. b) Si le point $$ M $$ appartient au cercle $$ (\Gamma) $$ de centre A et de rayon 2 , montre qu'alors $$ M^{\prime}=f(M) $$ appartient à un cercle ( $$ \left.\Gamma^{\prime} ight) $$ dont on précisera le centre et le rayon. 4) Pour tout nombre complexe $$ z $$ différent de -1 , on considère le nombre complexe $$ \omega=\frac{z-2 t}{z+1} $$. a) Interprète géométriquement l'argument du nombre complexe $$ \omega $$. b) Montre que $$ z^{\prime}=-i \omega $$. c) Détermine l'ensemble $$ (F) $$ des points $$ M $$ d'affixe $$ z $$ telle que $$ z^{\prime} $$ soit un réel non nul. d) Vérifie que le point $$ D $$ appartient aux ensembles $$ (\Gamma) $$ et $$ (F) $$. 5) Représente les ensembles $$ (\Gamma) $$, (F) et $$ \left(\Gamma^{\prime} ight) $$ en prenant 4 cm pour unité graphique.

Question

Exercice 82 Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct $$ (0, \vec{u}, \vec{v}) $$. On appelle $$ f $$ l'application qui, à tout point $$ M $$ d'affixe $$ z(z 
eq-1) $$ associe le point $$ M^{\prime} $$ d'affixe $$ z^{\prime} $$ telle que : $$ z^{\prime}=\frac{-i z-2}{z+1} $$. Soient A, B et C les points d'affixes respectives $$ a=-1, b=2 i $$ et $$ c=-i $$. 1) Soit $$ C^{\prime} $$ l'image du point $$ C $$ par $$ f $$. Donner l'affixe $$ c^{\prime} $$ du point $$ C^{\prime} $$ sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique. 2) Calcule l'affixe $$ d $$ du point $$ D $$ ayant pour image par $$ f $$ le point $$ D^{\prime} $$ d'affixe $$ d^{\prime}=\frac{1}{2} $$. 3) Pour tout nombre complexe $$ z $$ différent de -1 , on note $$ p $$ le module de $$ z+1 $$ (c'est-à-dire $$ |z+1|=p) $$ et $$ p^{\prime} $$ le module de $$ z^{\prime}+i\left(ight. $$ c'est-à-dire $$ \left.\left|z^{\prime}+iight|=p^{\prime}ight) $$. a) Démontre que pour tout nombre complexe $$ z $$ différent de -1 , on a : $$ p p^{\prime}=\sqrt{5} $$. b) Si le point $$ M $$ appartient au cercle $$ (\Gamma) $$ de centre A et de rayon 2 , montre qu'alors $$ M^{\prime}=f(M) $$ appartient à un cercle ( $$ \left.\Gamma^{\prime}ight) $$ dont on précisera le centre et le rayon. 4) Pour tout nombre complexe $$ z $$ différent de -1 , on considère le nombre complexe $$ \omega=\frac{z-2 t}{z+1} $$. a) Interprète géométriquement l'argument du nombre complexe $$ \omega $$. b) Montre que $$ z^{\prime}=-i \omega $$. c) Détermine l'ensemble $$ (F) $$ des points $$ M $$ d'affixe $$ z $$ telle que $$ z^{\prime} $$ soit un réel non nul. d) Vérifie que le point $$ D $$ appartient aux ensembles $$ (\Gamma) $$ et $$ (F) $$. 5) Représente les ensembles $$ (\Gamma) $$, (F) et $$ \left(\Gamma^{\prime}ight) $$ en prenant 4 cm pour unité graphique.

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**1) Calcul de l'affixe $$ c^{\prime} $$ du point $$ C^{\prime} $$**

On a $$ c = -i $$. L'application $$ f $$ est définie par :
$$
c^{\prime} = f(c) = \frac{-i c - 2}{c + 1}
$$

Substituons $$ c = -i $$ dans l'expression :
$$
c^{\prime} = \frac{-i (-i) - 2}{-i + 1}
$$

Calculons le numérateur et le dénominateur séparément :
$$
-i (-i) = (-i)^2 = (-1)^2 \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1
$$
$$
\text{Numérateur} = -1 - 2 = -3
$$
$$
\text{Dénominateur} = 1 - i
$$
Ainsi,
$$
c^{\prime} = \frac{-3}{1 - i}
$$

Rationalisons le dénominateur en multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué $$ 1 + i $$ :
$$
c^{\prime} = \frac{-3 (1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{-3 - 3i}{1 + i - i - i^2} = \frac{-3 - 3i}{1 - (-1)} = \frac{-3 - 3i}{2} = -\frac{3}{2} - \frac{3}{2}i
$$

**Forme algébrique :**
$$
c^{\prime} = -\frac{3}{2} - \frac{3}{2}i
$$

**Forme trigonométrique :**

Calculons le module $$ r $$ et l'argument $$ \theta $$ de $$ c^{\prime} $$ :
$$
r = |c^{\prime}| = \sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{18}{4}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}
$$
$$
\theta = \arctan\left(\frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{3}{2}}\right) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}
$$
Mais comme les deux parties sont négatives, $$ c^{\prime} $$ se trouve dans le troisième quadrant. Donc :
$$
\theta = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}
$$

**Forme trigonométrique :**
$$
c^{\prime} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \left( \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) \right)
$$

**Résumé :**
- **Forme algébrique :**
  $$
  c^{\prime} = -\frac{3}{2} - \frac{3}{2}i
  $$
- **Forme trigonométrique :**
  $$
  c^{\prime} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \text{ cis }\left(\frac{5\pi}{4}\right)
  $$
**1) Calcul de l'affixe $$ c^{\prime} $$ du point $$ C^{\prime} $$** On a $$ c = -i $$. L'application $$ f $$ donne : $$ c^{\prime} = \frac{-i (-i) - 2}{-i + 1} = \frac{-1 - 2}{1 - i} = \frac{-3}{1 - i} $$ Rationalisons : $$ c^{\prime} = \frac{-3 (1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{-3 - 3i}{2} = -\frac{3}{2} - \frac{3}{2}i $$ **Forme algébrique :** $$ c^{\prime} = -\frac{3}{2} - \frac{3}{2}i $$ **Forme trigonométrique :** $$ c^{\prime} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \left( \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) \right) $$ **Résumé :** - **Forme algébrique :** $$ c^{\prime} = -\frac{3}{2} - \frac{3}{2}i $$ - **Forme trigonométrique :** $$ c^{\prime} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \text{ cis }\left(\frac{5\pi}{4}\right) $$

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