Answer
Para las matrices \( A \) y \( B \) dadas, ninguna de las propiedades \( (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \), \( (A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 \) ni \( (A+B)(A-B) = A^2 - B^2 \) se cumple. Esto se debe a que la multiplicación de matrices no es conmutativa en general, lo que hace que estas identidades no sean válidas para matrices en general.
Solution
Claro, vamos a comprobar las propiedades dadas para las matrices \( A \) y \( B \).
Dadas las matrices:
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \]
### a) Verificar que \( (A+B)^{2} = A^{2} + 2AB + B^{2} \)
Primero, calculemos \( A + B \):
\[ A + B = \begin{pmatrix} 1+2 & 2+(-1) \\ 3+1 & 0+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \]
Ahora, calculamos \( (A+B)^2 \):
\[ (A+B)^2 = (A+B)(A+B) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \]
\[ = \begin{pmatrix}
3 \cdot 3 + 1 \cdot 4 & 3 \cdot 1 + 1 \cdot 3 \\
4 \cdot 3 + 3 \cdot 4 & 4 \cdot 1 + 3 \cdot 3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & 6 \\ 24 & 13 \end{pmatrix} \]
Ahora, calculemos \( A^2 + 2AB + B^2 \):
1. **Calculamos \( A^2 \):**
\[ A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \]
\[ = \begin{pmatrix}
1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 \\
3 \cdot 1 + 0 \cdot 3 & 3 \cdot 2 + 0 \cdot 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \]
2. **Calculamos \( AB \):**
\[ AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \]
\[ = \begin{pmatrix}
1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 & 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 3 \\
3 \cdot 2 + 0 \cdot 1 & 3 \cdot (-1) + 0 \cdot 3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 6 & -3 \end{pmatrix} \]
3. **Calculamos \( B^2 \):**
\[ B^2 = B \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \]
\[ = \begin{pmatrix}
2 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 & 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 \\
1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 & 1 \cdot (-1) + 3 \cdot 3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 5 & 8 \end{pmatrix} \]
4. **Ahora sumamos \( A^2 + 2AB + B^2 \):**
\[ 2AB = 2 \cdot \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 6 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 10 \\ 12 & -6 \end{pmatrix} \]
\[ A^2 + 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 & 10 \\ 12 & -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 5 & 8 \end{pmatrix} \]
\[ = \begin{pmatrix} 7+8+3 & 2+10-5 \\ 3+12+5 & 6-6+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & 7 \\ 20 & 8 \end{pmatrix} \]
Comparando:
\[ (A+B)^2 = \begin{pmatrix} 13 & 6 \\ 24 & 13 \end{pmatrix}, \quad A^2 + 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 18 & 7 \\ 20 & 8 \end{pmatrix} \]
**No son iguales**, por lo tanto, la igualdad \( (A+B)^{2} = A^{2} + 2AB + B^{2} \) **no se cumple**.
### b) Verificar que \( (A-B)^{2} = A^{2} - 2AB + B^{2} \)
Primero, calculemos \( A - B \):
\[ A - B = \begin{pmatrix} 1-2 & 2-(-1) \\ 3-1 & 0-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \]
Ahora, calculamos \( (A-B)^2 \):
\[ (A-B)^2 = (A-B)(A-B) = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \]
\[ = \begin{pmatrix}
(-1)(-1) + 3 \cdot 2 & (-1) \cdot 3 + 3 \cdot (-3) \\
2 \cdot (-1) + (-3) \cdot 2 & 2 \cdot 3 + (-3)(-3)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -12 \\ -8 & 15 \end{pmatrix} \]
Ahora, calculemos \( A^2 - 2AB + B^2 \) utilizando los valores previamente calculados:
\[ A^2 - 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8 & 10 \\ 12 & -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 5 & 8 \end{pmatrix} \]
\[ = \begin{pmatrix} 7-8+3 & 2-10-5 \\ 3-12+5 & 6+6+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -13 \\ -4 & 20 \end{pmatrix} \]
Comparando:
\[ (A-B)^2 = \begin{pmatrix} 7 & -12 \\ -8 & 15 \end{pmatrix}, \quad A^2 - 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 2 & -13 \\ -4 & 20 \end{pmatrix} \]
**No son iguales**, por lo tanto, la igualdad \( (A-B)^{2} = A^{2} - 2AB + B^{2} \) **no se cumple**.
### c) Verificar que \( (A+B)(A-B) = A^{2} - B^{2} \)
Ya tenemos \( A + B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \) y \( A - B = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \).
Calculamos \( (A+B)(A-B) \):
\[ (A+B)(A-B) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \]
\[ = \begin{pmatrix}
3 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 & 3 \cdot 3 + 1 \cdot (-3) \\
4 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 & 4 \cdot 3 + 3 \cdot (-3)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 6 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \]
Ahora, calculemos \( A^2 - B^2 \) utilizando los valores previamente obtenidos:
\[ A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 5 & 8 \end{pmatrix} \]
\[ = \begin{pmatrix} 7-3 & 2-(-5) \\ 3-5 & 6-8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} \]
Comparando:
\[ (A+B)(A-B) = \begin{pmatrix} -1 & 6 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}, \quad A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} \]
**No son iguales**, por lo tanto, la igualdad \( (A+B)(A-B) = A^{2} - B^{2} \) **no se cumple**.
### Conclusión
Para las matrices \( A \) y \( B \) dadas, ninguna de las propiedades a), b) ni c) se cumple. Esto se debe a que, a diferencia de los números reales, la multiplicación de matrices no es conmutativa en general, lo que afecta la validez de tales identidades.
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