Una bola de 2 kg se deja caer desde el reposo sobre una pista como muestra la figura. Se introd r el interior de un tramo circular de radio \( \mathrm{r}=4 \mathrm{~m} \) pasando por el punto más alto A . Luego de a vuelta completa, continúa por la pista horizontal comprimiendo el resorte ( \( \mathrm{k}=2400 \mathrm{~N} / \mathrm{m} \) ). sprecian todos los rozamientos. Calcular: a) La altura inicial h necesaria para alcanzar el punto A mínima velocidad posible; b) La compresión áxima que experimenta el resorte si se deja caer erza una altura \( \mathrm{h}=15 \mathrm{~m} \); c) El trabajo de la canza el punto A , en el caso considerado en el anterior.

Para resolver los diferentes puntos del problema, empecemos por calcular la altura inicial \( h \) necesaria. a) Para que la bola alcance el punto más alto A con la mínima velocidad, deberíamos garantizar que toda su energía potencial inicial se transforme en energía cinética al llegar a la parte inferior, y que toda esa energía cinética se convierta en potencial en el punto A. La energía potencial se calcula como \( E_p = m \cdot g \cdot h \), donde \( m = 2 \, \text{kg} \), \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \) y \( h \) es la altura inicial que buscamos. En el punto más alto A, la energía potencial \( E_p' \) es \( m \cdot g \cdot (r = 4 \, \text{m}) \). La energía cinética será 0 en el punto A si la velocidad es mínima. Por lo tanto, \[ E_{p} = E_{p}' \] \[ m \cdot g \cdot h = m \cdot g \cdot r \] Cancelando \( m \cdot g \) nos queda: \[ h = r = 4 \, \text{m} \] Así que la altura inicial \( h \) necesaria es de 4 metros. b) Para la compresión máxima del resorte si se deja caer desde una altura de \( h = 15 \, \text{m} \), podemos usar la energía potencial inicial y la energía de compresión del resorte. Primero calculamos la energía potencial inicial: \[ E_p = m \cdot g \cdot h = 2 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 15 \, \text{m} = 294.3 \, \text{J} \] Cuando el resorte se comprime, la energía potencial se convierte en energía potencial del resorte: \[ \frac{1}{2} k x^2 = 294.3 \, \text{J} \] Sustituyendo \( k = 2400 \, \text{N/m} \): \[ \frac{1}{2} (2400) x^2 = 294.3 \] Resolviendo para \( x \): \[ 1200 x^2 = 294.3 \] \[ x^2 = \frac{294.3}{1200} \approx 0.24525 \] \[ x \approx \sqrt{0.24525} \approx 0.495 \, \text{m} \] Así que la compresión máxima del resorte es de aproximadamente 0.495 metros. c) El trabajo de la fuerza gravitational hasta el punto A puede calcularse como la variación de energía potencial. La energía potencial al inicio es \( E_p = m \cdot g \cdot h = 294.3 \, \text{J} \), y al haber llegado al punto A (si no hay velocidad), la energía potencial es \( E_p' = m \cdot g \cdot r = 2 \cdot 9.81 \cdot 4 = 78.48 \, \text{J} \). El trabajo realizado es: \[ W = E_p - E_p' = 294.3 - 78.48 = 215.82 \, \text{J} \] Por lo tanto, el trabajo de la fuerza gravitacional hasta el punto A es de aproximadamente 215.82 joules.