Question
Una bola de 2 kg se deja caer desde el reposo sobre una pista como muestra la figura. Se introd
r el interior de un tramo circular de radio
pasando por el punto más alto A . Luego de
a vuelta completa, continúa por la pista horizontal comprimiendo el resorte (
).
sprecian todos los rozamientos. Calcular: a) La altura inicial h necesaria para alcanzar el punto A
mínima velocidad posible; b) La compresión
áxima que experimenta el resorte si se deja caer
erza una altura
; c) El trabajo de la
canza el punto A , en el caso considerado en el
anterior.
r el interior de un tramo circular de radio
a vuelta completa, continúa por la pista horizontal comprimiendo el resorte (
sprecian todos los rozamientos. Calcular: a) La altura inicial h necesaria para alcanzar el punto A
mínima velocidad posible; b) La compresión
áxima que experimenta el resorte si se deja caer
erza una altura
canza el punto A , en el caso considerado en el
anterior.
Ask by Mcdonald Nguyen. in Argentina
Jan 22,2025
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Answer
a) La altura inicial necesaria es de 10 metros.
Solution
Para resolver el apartado a) del problema, seguimos los siguientes pasos:
a) Altura inicial
necesaria para alcanzar el punto A con la mínima velocidad posible
-
Condición para mantener el movimiento circular:En el punto más alto A del tramo circular, la velocidad mínima
que la bola debe tener para que pueda completar la vuelta y mantener el contacto con la pista se obtiene de la condición de que la fuerza centrípeta sea al menos igual al peso de la bola: Simplificando: -
Conservación de la energía:La energía potencial inicial se convierte en energía potencial en el punto A más la energía cinética en A:Dividiendo por
: -
Sustituyendo
en la ecuación de la energía: -
Determinar
: El punto A es el punto más alto del tramo circular, por lo que: -
Calcular la altura inicial
:
Respuesta:
a) La altura inicial necesaria es de 10 metros.
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Bonus Knowledge
Para resolver los diferentes puntos del problema, empecemos por calcular la altura inicial
necesaria.
a) Para que la bola alcance el punto más alto A con la mínima velocidad, deberíamos garantizar que toda su energía potencial inicial se transforme en energía cinética al llegar a la parte inferior, y que toda esa energía cinética se convierta en potencial en el punto A. La energía potencial se calcula como
, donde
,
y
es la altura inicial que buscamos. En el punto más alto A, la energía potencial
es
. La energía cinética será 0 en el punto A si la velocidad es mínima. Por lo tanto,
Cancelando
nos queda:
Así que la altura inicial
necesaria es de 4 metros.
b) Para la compresión máxima del resorte si se deja caer desde una altura de
, podemos usar la energía potencial inicial y la energía de compresión del resorte.
Primero calculamos la energía potencial inicial:
Cuando el resorte se comprime, la energía potencial se convierte en energía potencial del resorte:
Sustituyendo
:
Resolviendo para
:
Así que la compresión máxima del resorte es de aproximadamente 0.495 metros.
c) El trabajo de la fuerza gravitational hasta el punto A puede calcularse como la variación de energía potencial. La energía potencial al inicio es
, y al haber llegado al punto A (si no hay velocidad), la energía potencial es
. El trabajo realizado es:
Por lo tanto, el trabajo de la fuerza gravitacional hasta el punto A es de aproximadamente 215.82 joules.