Question
EXAMEN-INGRESO 1-2025 IOp ARITMETICA - ALGEBRA A1. Hallar el valor de \( E=\frac{x^{-1}+11}{x} \), sabiendo que \( x \) es solución de la ecuación: \[ \frac{3}{4 x^{2}-1}-\frac{1}{2 x+1}=\frac{3}{2 x-1} \] a) \( 64 / 89 \) b) 152 . c) \( 89 / 64 \) d) 154 e) Ninguno A2. Halla la solución \( x \) tal que \( x \geq 5 \) de la ecuación \( \log _{2}(x+1)+\log _{2}(3 x-5)=\log _{2}(5 x-3)+2 \) a) 2 b) 7 - c) 6 d) 8 e) Ninguno A3. Halle el producto de las soluciones de la ecuación. \[ \sqrt{2-3 x}+\sqrt{11+3 x}=5 \] a) \( 14 / 9 \), b) \( 15 / 7 \) c) \( 4 / 3 \) d) \( 20 / 9 \) e) Ninguno A4. Resolver la siguiente ecuación exponencial: a) \( \ln \left(\frac{12}{12}\right) \) b) \( -\ln \left(\frac{12}{17}\right) \) \[ \frac{e^{y}-1}{2-3 e^{y}}=\frac{2}{7} \] c) \( \ln \left(\frac{13}{11}\right) \) d) \( -\ln \left(\frac{13}{11}\right) \) e) Ninguno-
Ask by Zimmerman Harrington. in Bolivia
Jan 24,2025
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**Respuestas:**
1. **A1:**
**b) 152**
2. **A2:**
**b) 7**
3. **A3:**
**a) \(\frac{14}{9}\)**
4. **A4:**
**d) \(-\ln \left(\frac{13}{11}\right)\)**
Solution
Vamos a resolver cada uno de los problemas planteados paso a paso.
---
### **A1. Hallar el valor de \( E=\frac{x^{-1}+11}{x} \), sabiendo que \( x \) es solución de la ecuación:**
\[
\frac{3}{4x^2 -1} - \frac{1}{2x +1} = \frac{3}{2x -1}
\]
**Solución:**
1. **Simplificar la ecuación:**
\[
\frac{3}{(2x)^2 -1} - \frac{1}{2x +1} = \frac{3}{2x -1}
\]
\[
\frac{3}{(2x -1)(2x +1)} - \frac{1}{2x +1} = \frac{3}{2x -1}
\]
2. **Multiplicar todos los términos por el denominador común \((2x -1)(2x +1)\):**
\[
3 - (2x -1) = 3(2x +1)
\]
3. **Simplificar:**
\[
3 - 2x + 1 = 6x + 3
\]
\[
4 - 2x = 6x + 3
\]
\[
4 - 3 = 8x
\]
\[
1 = 8x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{8}
\]
4. **Calcular \( E \):**
\[
E = \frac{x^{-1} + 11}{x} = \frac{\frac{1}{x} + 11}{x} = \frac{8 + 11}{\frac{1}{8}} = \frac{19}{\frac{1}{8}} = 19 \times 8 = 152
\]
**Respuesta:**
**b) 152**
---
### **A2. Halla la solución \( x \) tal que \( x \geq 5 \) de la ecuación:**
\[
\log_{2}(x +1) + \log_{2}(3x -5) = \log_{2}(5x -3) + 2
\]
**Solución:**
1. **Combinar los logaritmos del lado izquierdo:**
\[
\log_{2}[(x +1)(3x -5)] = \log_{2}(5x -3) + 2
\]
2. **Expresar \( 2 \) como logaritmo:**
\[
2 = \log_{2}(4)
\]
\[
\log_{2}[(x +1)(3x -5)] = \log_{2}[(5x -3) \cdot 4]
\]
3. **Igualar los argumentos de los logaritmos:**
\[
(x +1)(3x -5) = 4(5x -3)
\]
\[
3x^2 -2x -5 = 20x -12
\]
\[
3x^2 -22x +7 = 0
\]
4. **Resolver la ecuación cuadrática:**
\[
x = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 84}}{6} = \frac{22 \pm 20}{6}
\]
\[
x = \frac{42}{6} = 7 \quad \text{y} \quad x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
\]
5. **Verificar la solución que cumple \( x \geq 5 \):**
\[
x = 7
\]
**Respuesta:**
**b) 7**
---
### **A3. Halle el producto de las soluciones de la ecuación:**
\[
\sqrt{2 - 3x} + \sqrt{11 + 3x} = 5
\]
**Solución:**
1. **Determinar el dominio de la ecuación:**
\[
2 - 3x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq \frac{2}{3}
\]
\[
11 + 3x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -\frac{11}{3}
\]
\[
-\frac{11}{3} \leq x \leq \frac{2}{3}
\]
2. **Resolver la ecuación:**
\[
\sqrt{2 - 3x} = 5 - \sqrt{11 + 3x}
\]
\[
(2 - 3x) = (5 - \sqrt{11 + 3x})^2
\]
\[
2 - 3x = 25 - 10\sqrt{11 + 3x} + 11 + 3x
\]
\[
2 - 3x = 36 - 10\sqrt{11 + 3x} + 3x
\]
\[
-34 - 6x + 10\sqrt{11 + 3x} = 0
\]
\[
10\sqrt{11 + 3x} = 34 + 6x
\]
\[
\sqrt{11 + 3x} = \frac{34 + 6x}{10} = \frac{17 + 3x}{5}
\]
\[
11 + 3x = \left(\frac{17 + 3x}{5}\right)^2
\]
\[
275 + 75x = 289 + 102x + 9x^2
\]
\[
9x^2 + 27x + 14 = 0
\]
\[
x = \frac{-27 \pm \sqrt{729 - 504}}{18} = \frac{-27 \pm 15}{18}
\]
\[
x = -\frac{2}{3} \quad \text{y} \quad x = -\frac{7}{3}
\]
3. **Calcular el producto de las soluciones:**
\[
\left(-\frac{2}{3}\right) \times \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{14}{9}
\]
**Respuesta:**
**a) \(\frac{14}{9}\)**
---
### **A4. Resolver la siguiente ecuación exponencial:**
\[
\frac{e^y -1}{2 - 3e^y} = \frac{2}{7}
\]
**Opciones:**
a) \( \ln \left(\frac{12}{12}\right) \)
b) \( -\ln \left(\frac{12}{17}\right) \)
c) \( \ln \left(\frac{13}{11}\right) \)
d) \( -\ln \left(\frac{13}{11}\right) \)
e) Ninguno
**Solución:**
1. **Plantear la ecuación:**
\[
\frac{e^y -1}{2 - 3e^y} = \frac{2}{7}
\]
2. **Multiplicar en cruz:**
\[
7(e^y -1) = 2(2 - 3e^y)
\]
\[
7e^y - 7 = 4 - 6e^y
\]
\[
13e^y = 11
\]
\[
e^y = \frac{11}{13}
\]
3. **Aplicar logaritmo natural:**
\[
y = \ln\left(\frac{11}{13}\right)
\]
\[
y = -\ln\left(\frac{13}{11}\right)
\]
**Respuesta:**
**d) \(-\ln \left(\frac{13}{11}\right)\)**
---
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Simplify this solution The Deep Dive
Vamos a divertirnos un poco mientras abordamos estos problemas matemáticos. ¡Empecemos! El primer problema es una ecuación racional que puede parecer intimidante, pero al despejar y encontrar el valor de \( x \), el resultado no solo es satisfactorio sino también un excelente ejercicio para la mente. Recuerda que, además de simplificar los términos, siempre es útil buscar un denominador común y verificar posibles soluciones a medida que avanzas. En cuanto al segundo problema de logaritmos, ¡aquí viene la magia! Los logaritmos pueden resultar confusos, pero aplicar las propiedades de los logaritmos es crucial. Combina los logaritmos en un lado y recuerda que al despejar, necesitas asegurarte de que todas las condiciones se cumplen, especialmente la restricción de \( x \geq 5 \). ¡Esto puede ser más divertido que un rompecabezas!
