EXAMEN-INGRESO 1-2025 IOp ARITMETICA - ALGEBRA A1. Hallar el valor de $$ E=\frac{x^{-1}+11}{x} $$, sabiendo que $$ x $$ es solución de la ecuación: $$ \frac{3}{4 x^{2}-1}-\frac{1}{2 x+1}=\frac{3}{2 x-1} $$ a) $$ 64 / 89 $$ b) 152 . c) $$ 89 / 64 $$ d) 154 e) Ninguno A2. Halla la solución $$ x $$ tal que $$ x \geq 5 $$ de la ecuación $$ \log _{2}(x+1)+\log _{2}(3 x-5)=\log _{2}(5 x-3)+2 $$ a) 2 b) 7 - c) 6 d) 8 e) Ninguno A3. Halle el producto de las soluciones de la ecuación. $$ \sqrt{2-3 x}+\sqrt{11+3 x}=5 $$ a) $$ 14 / 9 $$, b) $$ 15 / 7 $$ c) $$ 4 / 3 $$ d) $$ 20 / 9 $$ e) Ninguno A4. Resolver la siguiente ecuación exponencial: a) $$ \ln \left(\frac{12}{12}\right) $$ b) $$ -\ln \left(\frac{12}{17}\right) $$ $$ \frac{e^{y}-1}{2-3 e^{y}}=\frac{2}{7} $$ c) $$ \ln \left(\frac{13}{11}\right) $$ d) $$ -\ln \left(\frac{13}{11}\right) $$ e) Ninguno-

Question

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Vamos a resolver cada uno de los problemas planteados paso a paso.

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### **A1. Hallar el valor de $$ E=\frac{x^{-1}+11}{x} $$, sabiendo que $$ x $$ es solución de la ecuación:**
$$
\frac{3}{4x^2 -1} - \frac{1}{2x +1} = \frac{3}{2x -1}
$$

**Solución:**

1. **Simplificar la ecuación:**
   $$
   \frac{3}{(2x)^2 -1} - \frac{1}{2x +1} = \frac{3}{2x -1}
   $$
   $$
   \frac{3}{(2x -1)(2x +1)} - \frac{1}{2x +1} = \frac{3}{2x -1}
   $$

2. **Multiplicar todos los términos por el denominador común $$(2x -1)(2x +1)$$:**
   $$
   3 - (2x -1) = 3(2x +1)
   $$
   
3. **Simplificar:**
   $$
   3 - 2x + 1 = 6x + 3
   $$
   $$
   4 - 2x = 6x + 3
   $$
   $$
   4 - 3 = 8x
   $$
   $$
   1 = 8x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{8}
   $$

4. **Calcular $$ E $$:**
   $$
   E = \frac{x^{-1} + 11}{x} = \frac{\frac{1}{x} + 11}{x} = \frac{8 + 11}{\frac{1}{8}} = \frac{19}{\frac{1}{8}} = 19 \times 8 = 152
   $$

**Respuesta:**  
**b) 152**

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### **A2. Halla la solución $$ x $$ tal que $$ x \geq 5 $$ de la ecuación:**
$$
\log_{2}(x +1) + \log_{2}(3x -5) = \log_{2}(5x -3) + 2
$$

**Solución:**

1. **Combinar los logaritmos del lado izquierdo:**
   $$
   \log_{2}[(x +1)(3x -5)] = \log_{2}(5x -3) + 2
   $$

2. **Expresar $$ 2 $$ como logaritmo:**
   $$
   2 = \log_{2}(4)
   $$
   $$
   \log_{2}[(x +1)(3x -5)] = \log_{2}[(5x -3) \cdot 4]
   $$

3. **Igualar los argumentos de los logaritmos:**
   $$
   (x +1)(3x -5) = 4(5x -3)
   $$
   $$
   3x^2 -2x -5 = 20x -12
   $$
   $$
   3x^2 -22x +7 = 0
   $$

4. **Resolver la ecuación cuadrática:**
   $$
   x = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 84}}{6} = \frac{22 \pm 20}{6}
   $$
   $$
   x = \frac{42}{6} = 7 \quad \text{y} \quad x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
   $$

5. **Verificar la solución que cumple $$ x \geq 5 $$:**
   $$
   x = 7
   $$

**Respuesta:**  
**b) 7**

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### **A3. Halle el producto de las soluciones de la ecuación:**
$$
\sqrt{2 - 3x} + \sqrt{11 + 3x} = 5
$$

**Solución:**

1. **Determinar el dominio de la ecuación:**
   $$
   2 - 3x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq \frac{2}{3}
   $$
   $$
   11 + 3x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -\frac{11}{3}
   $$
   $$
   -\frac{11}{3} \leq x \leq \frac{2}{3}
   $$

2. **Resolver la ecuación:**
   $$
   \sqrt{2 - 3x} = 5 - \sqrt{11 + 3x}
   $$
   $$
   (2 - 3x) = (5 - \sqrt{11 + 3x})^2
   $$
   $$
   2 - 3x = 25 - 10\sqrt{11 + 3x} + 11 + 3x
   $$
   $$
   2 - 3x = 36 - 10\sqrt{11 + 3x} + 3x
   $$
   $$
   -34 - 6x + 10\sqrt{11 + 3x} = 0
   $$
   $$
   10\sqrt{11 + 3x} = 34 + 6x
   $$
   $$
   \sqrt{11 + 3x} = \frac{34 + 6x}{10} = \frac{17 + 3x}{5}
   $$
   $$
   11 + 3x = \left(\frac{17 + 3x}{5}\right)^2
   $$
   $$
   275 + 75x = 289 + 102x + 9x^2
   $$
   $$
   9x^2 + 27x + 14 = 0
   $$
   $$
   x = \frac{-27 \pm \sqrt{729 - 504}}{18} = \frac{-27 \pm 15}{18}
   $$
   $$
   x = -\frac{2}{3} \quad \text{y} \quad x = -\frac{7}{3}
   $$

3. **Calcular el producto de las soluciones:**
   $$
   \left(-\frac{2}{3}\right) \times \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{14}{9}
   $$

**Respuesta:**  
**a) $$\frac{14}{9}$$**

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### **A4. Resolver la siguiente ecuación exponencial:**
$$
\frac{e^y -1}{2 - 3e^y} = \frac{2}{7}
$$

**Opciones:**
a) $$ \ln \left(\frac{12}{12}\right) $$  
b) $$ -\ln \left(\frac{12}{17}\right) $$  
c) $$ \ln \left(\frac{13}{11}\right) $$  
d) $$ -\ln \left(\frac{13}{11}\right) $$  
e) Ninguno

**Solución:**

1. **Plantear la ecuación:**
   $$
   \frac{e^y -1}{2 - 3e^y} = \frac{2}{7}
   $$

2. **Multiplicar en cruz:**
   $$
   7(e^y -1) = 2(2 - 3e^y)
   $$
   $$
   7e^y - 7 = 4 - 6e^y
   $$
   $$
   13e^y = 11
   $$
   $$
   e^y = \frac{11}{13}
   $$

3. **Aplicar logaritmo natural:**
   $$
   y = \ln\left(\frac{11}{13}\right)
   $$
   $$
   y = -\ln\left(\frac{13}{11}\right)
   $$

**Respuesta:**  
**d) $$-\ln \left(\frac{13}{11}\right)$$**

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**Respuestas:** 1. **A1:** **b) 152** 2. **A2:** **b) 7** 3. **A3:** **a) $$\frac{14}{9}$$** 4. **A4:** **d) $$-\ln \left(\frac{13}{11}\right)$$**

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