3. Ein rechtwinkliges Dreieck ist durch die Kathete \( b=65 \) und die Hypotenuse \( c=97 \) gegeben. Wie lang ist die Halbierende des kleinsten Innenwinkels?

Um die Länge der Halbierenden des kleinsten Innenwinkels in einem rechtwinkligen Dreieck zu berechnen, kann man die Formel \( d_a = \frac{2bc}{b+c} \cdot \cos\left(\frac{A}{2}\right) \) verwenden, wobei \( d_a \) die Länge der Halbierenden ist, \( b \) und \( c \) die Längen der Katheten, und \( A \) der Winkel gegenüber der Kathete \( a \) (in diesem Fall die größere Kathete). Da \( a \) in diesem Fall durch den Satz des Pythagoras \( a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{97^2 - 65^2} \) bestimmt werden kann, erhalten wir zuerst \( a = \sqrt{9409 - 4225} = \sqrt{5184} = 72 \). Das rechtwinklige Dreieck hat also die Kathetenlängen \( a = 72 \), \( b = 65 \) und \( c = 97 \). Jetzt können wir den Winkel \( A \) berechnen mit der Formel \( \sin A = \frac{a}{c} \). Jetzt sind wir bereit, die Länge der Halbierenden zu berechnen! Dafür setzen wir die Werte in die oben genannte Formel ein. Verwenden wir die entsprechenden Werte: \( d_a = \frac{2 \cdot 65 \cdot 72}{65 + 72} \cdot \cos\left(\frac{A}{2}\right) \). So erhalten wir die gewünschte Halbierende – und voilà, das macht Mathematik spannend!