3. Num referencial ortonormado \( O x y z \), os planos de equações \( 5 x-(k-3) y+1=0 \) e \( z+2 y+k x=3 \) são perpendiculares, sendo \( k \in \mathbb{R} \). Qual é o valor de \( k \) ? \( \begin{array}{llll}\text { (A) }-2 & \text { (B) } 2 & \text { (C) } \frac{11}{2} & \text { (D) }-\frac{1}{2}\end{array} \)

Para que os planos sejam perpendiculares, os vetores normais aos planos devem ser perpendiculares, ou seja, o produto escalar deles deve ser zero. Vamos identificar os vetores normais dos planos dados: 1. **Primeiro plano**: \(5x - (k - 3)y + 1 = 0\) O vetor normal é \( \mathbf{n}_1 = (5, -(k - 3), 0) \). 2. **Segundo plano**: \(z + 2y + kx = 3\) O vetor normal é \( \mathbf{n}_2 = (k, 2, 1) \). Para que os planos sejam perpendiculares: \[ \mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 = 0 \] Calculando o produto escalar: \[ 5k + [-(k - 3)] \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 0 \] \[ 5k - 2(k - 3) = 0 \] \[ 5k - 2k + 6 = 0 \] \[ 3k + 6 = 0 \] \[ 3k = -6 \] \[ k = -2 \] **Resposta correta:** (A) \(-2\)