3. Num referencial ortonormado $$ O x y z $$, os planos de equações $$ 5 x-(k-3) y+1=0 $$ e $$ z+2 y+k x=3 $$ são perpendiculares, sendo $$ k \in \mathbb{R} $$. Qual é o valor de $$ k $$ ? $$ \begin{array}{llll} ext { (A) }-2 & ext { (B) } 2 & ext { (C) } \frac{11}{2} & ext { (D) }-\frac{1}{2}\end{array} $$

Question

3. Num referencial ortonormado $$ O x y z $$, os planos de equações $$ 5 x-(k-3) y+1=0 $$ e $$ z+2 y+k x=3 $$ são perpendiculares, sendo $$ k \in \mathbb{R} $$. Qual é o valor de $$ k $$ ? $$ \begin{array}{llll}	ext { (A) }-2 & 	ext { (B) } 2 & 	ext { (C) } \frac{11}{2} & 	ext { (D) }-\frac{1}{2}\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Para que os planos sejam perpendiculares, os vetores normais aos planos devem ser perpendiculares, ou seja, o produto escalar deles deve ser zero.

Vamos identificar os vetores normais dos planos dados:

1. **Primeiro plano**: $$5x - (k - 3)y + 1 = 0$$

O vetor normal é $$ \mathbf{n}_1 = (5, -(k - 3), 0) $$.

2. **Segundo plano**: $$z + 2y + kx = 3$$

O vetor normal é $$ \mathbf{n}_2 = (k, 2, 1) $$.

Para que os planos sejam perpendiculares:
$$
\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 = 0
$$

Calculando o produto escalar:
$$
5k + [-(k - 3)] \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 0
$$
$$
5k - 2(k - 3) = 0
$$
$$
5k - 2k + 6 = 0
$$
$$
3k + 6 = 0
$$
$$
3k = -6
$$
$$
k = -2
$$

**Resposta correta:** (A) $$-2$$
O valor de $$ k $$ é $$-2$$.

Num referencial ortonormado , os planos de equações e são
perpendiculares, sendo . Qual é o valor de ?

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