Soient $$ \mathrm{A}=3 \mathrm{n}-5 $$ et $$ \mathrm{B}=2 \mathrm{n}-7 $$ avee $$ \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*} $$. d est un entier non nul qui divise A et 1) Montrer que d divise $$ 2 \mathrm{~A}-3 \mathrm{~B} $$. 2) En déduire que d divise 11.

Question

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Pour démontrer les affirmations, procédons étape par étape.

**1) Montrons que $$ d $$ divise $$ 2A - 3B $$.**

Étant donné que $$ d $$ divise $$ A $$ et $$ B $$, il existe des entiers $$ k $$ et $$ l $$ tels que :
$$
A = d \cdot k \quad \text{et} \quad B = d \cdot l
$$

Calculons $$ 2A - 3B $$ :
$$
2A - 3B = 2(dk) - 3(dl) = d(2k - 3l)
$$

Ainsi, $$ 2A - 3B $$ est un multiple de $$ d $$, ce qui implique que $$ d $$ divise $$ 2A - 3B $$.

**2) En déduire que $$ d $$ divise 11.**

Calculons explicitement $$ 2A - 3B $$ en remplaçant $$ A $$ et $$ B $$ :
$$
A = 3n - 5 \quad \text{et} \quad B = 2n - 7
$$
$$
2A = 2(3n - 5) = 6n - 10
$$
$$
3B = 3(2n - 7) = 6n - 21
$$
$$
2A - 3B = (6n - 10) - (6n - 21) = 11
$$

Nous avons donc montré que $$ d $$ divise 11.

Comme 11 est un entier premier, les diviseurs de 11 sont $$ \pm1 $$ et $$ \pm11 $$. Étant donné que $$ d $$ est un entier non nul, on conclut que :
$$
d \in \{1, 11, -1, -11\}
$$

Cependant, dans le contexte des diviseurs dans $$ \mathbb{N}^* $$, on considère généralement les diviseurs positifs. Ainsi, $$ d $$ divise 11.
$$ d $$ divise 11.

Soient et avee . d est un entier non nul qui divise A et

Montrer que d divise .

En déduire que d divise 11.

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