Elvolumen del solido de revolución generado por el giro de la región limitada por \( y=x^{2}+1 \) y \( y=x+3 \) alrededor de la recta \( y=8 \) es:

Para encontrar el volumen del sólido de revolución generado por el giro de la región limitada por las curvas \( y = x^2 + 1 \) y \( y = x + 3 \) alrededor de la recta \( y = 8 \), seguiremos estos pasos: 1. **Encontrar los puntos de intersección** de las dos curvas. 2. **Determinar el radio** de rotación para cada función respecto a la recta \( y = 8 \). 3. **Calcular el volumen** utilizando el método de discos o anillos. ### Paso 1: Encontrar los puntos de intersección Igualamos las dos funciones para encontrar los puntos de intersección: \[ x^2 + 1 = x + 3 \] Reorganizamos la ecuación: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Ahora, resolvemos esta ecuación cuadrática. Utilizaremos la fórmula general \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), donde \( a = 1, b = -1, c = -2 \). ### Paso 2: Calcular los puntos de intersección Calculamos el discriminante y luego los valores de \( x \): \[ b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \] Ahora, aplicamos la fórmula: \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{1 \pm 3}{2} \] Esto nos da: \[ x_1 = \frac{4}{2} = 2 \quad \text{y} \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \] Los puntos de intersección son \( x = -1 \) y \( x = 2 \). ### Paso 3: Determinar el radio de rotación Para el método de anillos, el radio externo \( R \) y el radio interno \( r \) se definen como: - \( R = 8 - (x + 3) = 5 - x \) (para \( y = x + 3 \)) - \( r = 8 - (x^2 + 1) = 7 - x^2 \) (para \( y = x^2 + 1 \)) ### Paso 4: Calcular el volumen El volumen \( V \) se calcula con la siguiente integral: \[ V = \pi \int_{-1}^{2} \left( R^2 - r^2 \right) \, dx \] Sustituyendo \( R \) y \( r \): \[ V = \pi \int_{-1}^{2} \left( (5 - x)^2 - (7 - x^2)^2 \right) \, dx \] Ahora, calculamos la integral. Primero, expandimos los cuadrados: \[ (5 - x)^2 = 25 - 10x + x^2 \] \[ (7 - x^2)^2 = 49 - 14x^2 + x^4 \] Sustituyendo en la integral: \[ V = \pi \int_{-1}^{2} \left( (25 - 10x + x^2) - (49 - 14x^2 + x^4) \right) \, dx \] Simplificamos: \[ V = \pi \int_{-1}^{2} \left( -x^4 + 15x^2 - 10x - 24 \right) \, dx \] Ahora, calculamos la integral: \[ V = \pi \left[ -\frac{x^5}{5} + 5x^3 - 5x^2 - 24x \right]_{-1}^{2} \] Realizamos las evaluaciones en los límites: 1. Para \( x = 2 \): \[ -\frac{2^5}{5} + 5(2^3) - 5(2^2) - 24(2) = -\frac{32}{5} + 40 - 20 - 48 = -\frac{32}{5} - 28 = -\frac{32 + 140}{5} = -\frac{172}{5} \] 2. Para \( x = -1 \): \[ -\frac{(-1)^5}{5} + 5(-1)^3 - 5(-1)^2 - 24(-1) = \frac{1}{5} - 5 - 5 + 24 = \frac{1}{5} + 14 = \frac{1 + 70}{5} = \frac{71}{5} \] Finalmente, calculamos el volumen: \[ V = \pi \left( -\frac{172}{5} - \frac{71}{5} \right) = \pi \left( -\frac{243}{5} \right) = -\frac{243\pi}{5} \] Sin embargo, el volumen no puede ser negativo, así que tomamos el valor absoluto: \[ V = \frac{243\pi}{5} \] Por lo tanto, el volumen del sólido de revolución es: \[ \boxed{\frac{243\pi}{5}} \]