\( \int _ { - 1 } ^ { 1 } \operatorname { coth } x d x \)

La integral dada es: \[ \int_{-1}^{1} \coth(x) \, dx \] Primero, analizamos la función \(\coth(x)\): \[ \coth(x) = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} \] Es importante notar que \(\coth(x)\) es una función impar, es decir, \(\coth(-x) = -\coth(x)\). En teoría, la integral de una función impar sobre un intervalo simétrico alrededor del origen \([-a, a]\) debería ser cero. Sin embargo, debemos verificar si la integral converge. Observemos el comportamiento de \(\coth(x)\) cerca de \(x = 0\): \[ \coth(x) \approx \frac{1}{x} + \frac{x}{3} + \dots \quad \text{cuando } x \to 0 \] La integral se convierte en una integral impropia debido a la singularidad en \(x = 0\): \[ \int_{-1}^{1} \coth(x) \, dx = \lim_{a \to 0^-} \int_{-1}^{a} \coth(x) \, dx + \lim_{b \to 0^+} \int_{b}^{1} \coth(x) \, dx \] Calculando las primitivas: \[ \int \coth(x) \, dx = \ln|\sinh(x)| + C \] Aplicando los límites: \[ \lim_{a \to 0^-} \left[ \ln|\sinh(a)| - \ln|\sinh(-1)| \right] + \lim_{b \to 0^+} \left[ \ln|\sinh(1)| - \ln|\sinh(b)| \right] \] Simplificando: \[ \lim_{a \to 0^-} \ln|\sinh(a)| - \lim_{b \to 0^+} \ln|\sinh(b)| \] Como \(\sinh(a) \approx a\) cuando \(a \to 0\): \[ \lim_{a \to 0^-} \ln|a| \quad \text{y} \quad \lim_{b \to 0^+} \ln|b| \] Ambos límites tienden a \(-\infty\), lo que indica que la integral no converge. **Conclusión:** La integral \(\int_{-1}^{1} \coth(x) \, dx\) no está definida porque diverge en \(x = 0\).