$$ \int _ { 0 } ^ { \ln 2 } \frac { e ^ { - x } } { e ^ { - x } + 4 } d x $$

Question

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Pour évaluer l'intégrale suivante :

$$
\int_{0}^{\ln 2} \frac{e^{-x}}{e^{-x} + 4} \, dx
$$

**Étapes de résolution :**

1. **Substitution :**
   Posons $$ u = e^{-x} + 4 $$. Alors, la dérivée de $$ u $$ par rapport à $$ x $$ est :
   $$
   \frac{du}{dx} = -e^{-x}
   $$
   Cela implique :
   $$
   e^{-x} \, dx = -du
   $$

2. **Changement de variable dans l'intégrale :**
   $$
   \int \frac{e^{-x}}{e^{-x} + 4} \, dx = -\int \frac{1}{u} \, du = -\ln|u| + C
   $$
   Remplaçons $$ u $$ par son expression en fonction de $$ x $$ :
   $$
   -\ln(e^{-x} + 4) + C
   $$

3. **Évaluation des bornes de l'intégrale :**
   Calculons la primitive entre $$ 0 $$ et $$ \ln 2 $$ :
   $$
   \left[ -\ln(e^{-x} + 4) \right]_{0}^{\ln 2} = -\ln\left(e^{-\ln 2} + 4\right) + \ln\left(e^{0} + 4\right)
   $$
   Simplifions :
   $$
   e^{-\ln 2} = \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad e^{0} = 1
   $$
   Ainsi :
   $$
   -\ln\left(\frac{1}{2} + 4\right) + \ln(1 + 4) = -\ln\left(\frac{9}{2}\right) + \ln(5)
   $$
   Ce qui peut être simplifié en :
   $$
   \ln(5) - \ln\left(\frac{9}{2}\right) = \ln\left(\frac{5}{\frac{9}{2}}\right) = \ln\left(\frac{10}{9}\right)
   $$

**Résultat final :**
$$
\int_{0}^{\ln 2} \frac{e^{-x}}{e^{-x} + 4} \, dx = \ln\left(\frac{10}{9}\right)
$$
L'intégrale évaluée est $$ \ln\left(\frac{10}{9}\right) $$.

\( \int _ { 0 } ^ { \ln 2 } \frac { e ^ { - x } } { e ^ { - x } + 4 } d x \)

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