Question
(4) Si \( B(x)=\frac{\cos 2 x+\operatorname{sen}^{2} x}{1-\cos ^{2} x} ; C(x)=\cot ^{2} x \quad D(x)=\cos x \) a) Denuestre que \( B(x)=C(x) \)
Ask by Ryan Todd. in Cuba
Jan 24,2025
Real Tutor Solution
Tutor-Verified Answer
Answer
\( B(x) = C(x) \)
Solution
Para demostrar que \( B(x) = C(x) \), partimos de las expresiones dadas:
\[
B(x) = \frac{\cos 2x + \sen^{2}x}{1 - \cos^{2}x}
\]
\[
C(x) = \cot^{2}x
\]
**Paso 1: Simplificar el denominador de \( B(x) \)**
Sabemos que:
\[
1 - \cos^{2}x = \sen^{2}x
\]
Por lo tanto, podemos reescribir \( B(x) \) como:
\[
B(x) = \frac{\cos 2x + \sen^{2}x}{\sen^{2}x} = \frac{\cos 2x}{\sen^{2}x} + \frac{\sen^{2}x}{\sen^{2}x} = \frac{\cos 2x}{\sen^{2}x} + 1
\]
**Paso 2: Expresar \( \cos 2x \) en términos de \( \sen^{2}x \)**
Recordemos la identidad trigonométrica:
\[
\cos 2x = 1 - 2\sen^{2}x
\]
Sustituyendo en \( B(x) \):
\[
B(x) = \frac{1 - 2\sen^{2}x}{\sen^{2}x} + 1 = \frac{1}{\sen^{2}x} - 2 + 1 = \frac{1}{\sen^{2}x} - 1
\]
**Paso 3: Reconocer la definición de \( \cot^{2}x \)**
Sabemos que:
\[
\cot^{2}x = \frac{\cos^{2}x}{\sen^{2}x} = \frac{1}{\sen^{2}x} - 1
\]
Por lo tanto:
\[
B(x) = \frac{1}{\sen^{2}x} - 1 = \cot^{2}x = C(x)
\]
**Conclusión:**
Hemos demostrado que \( B(x) = C(x) \).
Reviewed and approved by the UpStudy tutoring team
Like
error msg
Explain 
Simplify this solution Mind Expander
Para demostrar que \( B(x) = C(x) \), comenzamos simplificando \( B(x) \): \[ B(x) = \frac{\cos 2x + \sin^2 x}{1 - \cos^2 x} \] Recordando que \( 1 - \cos^2 x = \sin^2 x \), podemos reescribir \( B(x) \): \[ B(x) = \frac{\cos 2x + \sin^2 x}{\sin^2 x} \] Descomponiendo el numerador, obtenemos: \[ B(x) = \frac{\cos 2x}{\sin^2 x} + 1 \] Recordemos que \( \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \). Al sustituir esto en la ecuación, podemos expresar: \[ B(x) = \frac{(\cos^2 x - \sin^2 x)}{\sin^2 x} + 1 = \cot^2 x - 1 + 1 = \cot^2 x \] Por lo tanto, hemos demostrado que \( B(x) = C(x) \), ya que \( C(x) = \cot^2 x \). Así, se cumple la igualdad deseada: \[ B(x) = C(x) \]
