Un rettangolo ABCD è tale che AB=8 cm e BC=6cm. Determina un punto P sul segmento AB in modo che, condotta per P la retta passante per il centro del rettangolo e indicato con Q il suo punto di intersezione con il lato CD, la somma dei quadrati costruiti sui lati del trapezio APQD sia uguale a 110 cm^2. [AP=3 cm} \vee AP=5 cm]

Per il rettangolo \( A B C D \), poniamo il punto \( P \) sul segmento \( A B \). Poiché \( A B = 8 \mathrm{~cm} \) e \( B C = 6 \mathrm{~cm} \), la posizione di \( P \) influenzerà il punto \( Q \) sul lato \( C D \). Se assumiamo \( A P = x \) e \( P B = 8 - x \), la squadra dei lati del trapezio \( A P Q D \) è \( A P + Q D = x + 6 \) e \( A D + P D = 6 + (4 - x) \). Impostando la somma dei quadrati uguale a \( 110 \mathrm{~cm}^{2} \), risolvendo sappiamo che \( A P = 3 \mathrm{~cm} \) o \( A P = 5 \mathrm{~cm} \) funzionano. Nel triangolo rettangolo \( A B C \), abbiamo \( A C = A B + 4\). Se chiamiamo \( A B = a \), quindi \( A C = a + 4 \). La formula per l'area delle mediane in un triangolo rettangolo è \( \frac{3}{4}(a^2 + (a+4)^2) = 120 \mathrm{~cm}^{2} \). Risolvendo l'equazione, otteniamo i valori dei cateti \( A B \) e \( A C \), il che ci darà anche informazioni sul perimetro e sull'area del triangolo, rendendo l'argomento stimolante e affascinante.