(99) Vamos a resolver la integral: \( \int \frac{x^{3}}{\sqrt{1+x^{2}}} d x \)

Para resolver la integral: \[ \int \frac{x^{3}}{\sqrt{1+x^{2}}} \, dx \] seguimos los siguientes pasos: **1. Sustitución:** Se elige una sustitución que simplifique la integral. Sea: \[ u = 1 + x^2 \] Entonces, derivamos respecto a \( x \): \[ du = 2x \, dx \quad \Rightarrow \quad \frac{du}{2} = x \, dx \] **2. Reescribir la integral en términos de \( u \):** Observamos que: \[ x^3 = x \cdot x^2 = x \cdot (u - 1) \] Ahora, sustituimos en la integral original: \[ \int \frac{x^{3}}{\sqrt{1+x^{2}}} \, dx = \int \frac{x (u - 1)}{\sqrt{u}} \, dx \] Sustituyendo \( x \, dx \) por \( \frac{du}{2} \): \[ = \int \frac{(u - 1)}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{\sqrt{u}} \, du \] **3. Simplificar y resolver la integral:** Simplificamos la expresión dentro de la integral: \[ \frac{u - 1}{\sqrt{u}} = u^{1/2} - u^{-1/2} \] Por lo tanto: \[ \frac{1}{2} \int \left( u^{1/2} - u^{-1/2} \right) \, du = \frac{1}{2} \left( \int u^{1/2} \, du - \int u^{-1/2} \, du \right) \] Calculamos las integrales: \[ \int u^{1/2} \, du = \frac{2}{3} u^{3/2} \quad \text{y} \quad \int u^{-1/2} \, du = 2 u^{1/2} \] Entonces: \[ \frac{1}{2} \left( \frac{2}{3} u^{3/2} - 2 u^{1/2} \right) = \frac{1}{3} u^{3/2} - u^{1/2} + C \] **4. Volver a la variable original \( x \):** Recuerda que \( u = 1 + x^2 \), por lo tanto: \[ \frac{1}{3} (1 + x^2)^{3/2} - (1 + x^2)^{1/2} + C \] **5. Presentar la solución final:** La integral resuelta es: \[ \int \frac{x^{3}}{\sqrt{1+x^{2}}} \, dx = \frac{1}{3} (1 + x^2)^{3/2} - (1 + x^2)^{1/2} + C \] donde \( C \) es la constante de integración.