На рисунке \( \angle B M K=\angle B A C \). Найдите сумму \( \angle M K C+\angle A C B \).

Давайте рассмотрим, что известно из условия. Обозначим \( \angle BAC = \alpha \), тогда по условию \( \angle BMK = \alpha \). В треугольнике \( ABC \) сумма углов равна \( 180^\circ \): \[ \angle ACB + \angle ABC + \angle BAC = 180^\circ. \] Обозначим \( \angle ACB = \beta \) и \( \angle ABC = \gamma \). Тогда мы имеем: \[ \beta + \gamma + \alpha = 180^\circ \quad \Rightarrow \quad \beta + \gamma = 180^\circ - \alpha. \] Теперь рассмотрим точку \( K \), где \( M \) и \( K \) образуют углы с стороной \( AC \). Из условия мы знаем, что \( \angle BMK = \alpha = \angle BAC \). Это означает, что \( M \) и \( K \) находятся на одной прямой, означающей, что \( \angle MKC \) также может быть связан с углами \( ACB \) и \( ABC \). Так как \( \angle MKC \) и \( \angle ACB \) являются близкими углами (они находятся на одной стороне от \( AC \)), можно заметить, что их сумма будет: \[ \angle MKC + \angle ACB = 180^\circ - \angle BAC = 180^\circ - \alpha. \] Обозначим \( \angle MKC = x \). Таким образом, используя, что \( \angle ACB + \angle ABC + \angle MKC = 180^\circ \), можно написать: \[ x + \beta + \gamma = 180^\circ, \] где \( \beta + \gamma = 180^\circ - \alpha \), откуда следует: \[ x + (180^\circ - \alpha) = 180^\circ \quad \Rightarrow \quad x = \alpha. \] Таким образом, сумма \( \angle MKC + \angle ACB = \alpha + \beta \). Теперь мы можем выразить сумму углов: \[ \angle MKC + \angle ACB = \alpha + \beta = 180^\circ - \gamma. \] Это значит, что запрашиваемая сумма \( \angle MKC + \angle ACB = 180^\circ - \gamma = \angle ACB + \angle ABC - \alpha + \alpha = \angle ABC + \angle ACB \). Находим сумму: \[ \angle MKC + \angle ACB = 180^\circ - \alpha. \] Таким образом, окончательно ответ будет: \[ \angle MKC + \angle ACB = 180^\circ - \angle BAC. \]