10. Demuestre que los vectores de posición \( \mathbf{u}=\mathbf{i}-2 \mathbf{j}+\mathbf{k} \) \( \mathbf{v}=3 \mathbf{i}+2 \mathbf{j}-3 \mathbf{k} \) \( \mathbf{w}=9 \mathbf{i}-2 \mathbf{j}-3 \mathbf{k} \) son coplanares y encuentre la ecuación del plano que los contiene
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Para demostrar que los vectores \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) y \(\mathbf{w}\) son coplanares, podemos usar el determinante de una matriz formada por estos vectores. Formamos la matriz: \[ \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 3 & 2 & -3 \\ 9 & -2 & -3 \end{bmatrix} \] Calculamos el determinante de esta matriz: \[ \text{det} = 1 \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ -2 & -3 \end{vmatrix} - (-2) \begin{vmatrix} 3 & -3 \\ 9 & -3 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 9 & -2 \end{vmatrix} \] Esto nos da: \[ \text{det} = 1 \cdot (2 \cdot -3 - (-2) \cdot -3) + 2 \cdot (3 \cdot -3 - 9 \cdot -3) + 1 \cdot (3 \cdot -2 - 9 \cdot 2) \] Simplificando cada uno de los determinantes, llegaremos a un resultado que indica si los vectores son coplanares. Si el determinante es cero, los vectores son coplanares. Para encontrar el plano que los contiene, usamos el producto cruzado de dos de los vectores, por ejemplo \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\): \[ \mathbf{n} = \mathbf{u} \times \mathbf{v} \] Calculamos \(\mathbf{n}\), que será un vector normal al plano definido por los vectores. Así, usando la forma del plano \( ax + by + cz = d \), donde \(\mathbf{n} = (a, b, c)\) y un punto en el plano, como \(\mathbf{u}\), se puede obtener la ecuación del plano.