10. Demuestre que los vectores de posición $$ \mathbf{u}=\mathbf{i}-2 \mathbf{j}+\mathbf{k} $$ $$ \mathbf{v}=3 \mathbf{i}+2 \mathbf{j}-3 \mathbf{k} $$ $$ \mathbf{w}=9 \mathbf{i}-2 \mathbf{j}-3 \mathbf{k} $$ son coplanares y encuentre la ecuación del plano que los contiene

Question

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Para demostrar que los vectores de posición $$\mathbf{u}$$, $$\mathbf{v}$$ y $$\mathbf{w}$$ son coplanares, podemos utilizar el determinante de la matriz formada por estos vectores. Si el determinante es cero, los vectores son coplanares.

1. **Definición de los vectores:**
   $$
   \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \ -2 \ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 \ 2 \ -3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{w} = \begin{pmatrix} 9 \ -2 \ -3 \end{pmatrix}
   $$

2. **Formar la matriz:**
   Formamos una matriz $$A$$ cuyas filas son los vectores $$\mathbf{u}$$, $$\mathbf{v}$$ y $$\mathbf{w}$$:
   $$
   A = \begin{pmatrix}
   1 & -2 & 1 \
   3 & 2 & -3 \
   9 & -2 & -3
   \end{pmatrix}
   $$

3. **Calcular el determinante de la matriz:**
   El determinante de $$A$$ se calcula como sigue:
   $$
   \text{det}(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -3 \ -2 & -3 \end{vmatrix} - (-2) \cdot \begin{vmatrix} 3 & -3 \ 9 & -3 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2 \ 9 & -2 \end{vmatrix}
   $$

Calculamos cada uno de los determinantes menores:
   $$
   \begin{vmatrix} 2 & -3 \ -2 & -3 \end{vmatrix} = (2)(-3) - (-2)(-3) = -6 - 6 = -12
   $$
   $$
   \begin{vmatrix} 3 & -3 \ 9 & -3 \end{vmatrix} = (3)(-3) - (-3)(9) = -9 + 27 = 18
   $$
   $$
   \begin{vmatrix} 3 & 2 \ 9 & -2 \end{vmatrix} = (3)(-2) - (2)(9) = -6 - 18 = -24
   $$

Sustituyendo en la fórmula del determinante:
   $$
   \text{det}(A) = 1 \cdot (-12) + 2 \cdot 18 + 1 \cdot (-24) = -12 + 36 - 24 = 0
   $$

Como $$\text{det}(A) = 0$$, los vectores $$\mathbf{u}$$, $$\mathbf{v}$$ y $$\mathbf{w}$$ son coplanares.

4. **Encontrar la ecuación del plano:**
   Para encontrar la ecuación del plano que contiene los vectores, podemos usar el vector normal al plano, que se puede obtener a partir del producto cruzado de dos de los vectores.

Tomemos $$\mathbf{v} - \mathbf{u}$$ y $$\mathbf{w} - \mathbf{u}$$:
   $$
   \mathbf{v} - \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 3 - 1 \ 2 - (-2) \ -3 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \ 4 \ -4 \end{pmatrix}
   $$
   $$
   \mathbf{w} - \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 9 - 1 \ -2 - (-2) \ -3 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \ 0 \ -4 \end{pmatrix}
   $$

Ahora calculamos el producto cruzado:
   $$
   \mathbf{n} = \begin{pmatrix} 2 \ 4 \ -4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 8 \ 0 \ -4 \end{pmatrix}
   $$

Calculamos el determinante:
   $$
   \mathbf{n} = \begin{vmatrix}
   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
   2 & 4 & -4 \
   8 & 0 & -4
   \end{vmatrix}
   $$

Esto se calcula como:
   $$
   \mathbf{n} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 4 & -4 \ 0 & -4 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 2 & -4 \ 8 & -4 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 2 & 4 \ 8 & 0 \end{vmatrix}
   $$

Calculamos cada determinante:
   $$
   \begin{vmatrix} 4 & -4 \ 0 & -4 \end{vmatrix} = (4)(-4) - (0)(-4) = -16
   $$
   $$
   \begin{vmatrix} 2 & -4 \ 8 & -4 \end{vmatrix} = (2)(-4) - (-4)(8) = -8 + 32 = 24
   $$
   $$
   \begin{vmatrix} 2 & 4 \ 8 & 0 \end{vmatrix} = (2)(0) - (4)(8) = 0 - 32 = -32
   $$

Entonces:
   $$
   \mathbf{n} = -16 \mathbf{i} - 24 \mathbf{j} - 32 \mathbf{k} = \begin{pmatrix} -16 \ -24 \ -32 \end{pmatrix}
   $$

La ecuación del plano se puede expresar como:
   $$
   -16(x - 1) - 24(y + 2) - 32(z - 1) = 0
   $$

Simplificando, obtenemos:
   $$
   -16x - 24y - 32z + 16 + 48 + 32 = 0
   $$
   $$
   -16x - 24y - 32z + 96 = 0
   $$

Dividiendo por -8 para simplificar:
   $$
   2x + 3y + 4z - 12 = 0
   $$

Por lo tanto
Los vectores $$\mathbf{u}$$, $$\mathbf{v}$$ y $$\mathbf{w}$$ son coplanares y la ecuación del plano que los contiene es $$2x + 3y + 4z - 12 = 0$$.

Demuestre que los vectores de posición

son coplanares y encuentre la ecuación del plano que los contiene

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