Responder
Los vectores \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) y \(\mathbf{w}\) son coplanares y la ecuación del plano que los contiene es \(2x + 3y + 4z - 12 = 0\).
Solución
Para demostrar que los vectores de posición \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) y \(\mathbf{w}\) son coplanares, podemos utilizar el determinante de la matriz formada por estos vectores. Si el determinante es cero, los vectores son coplanares.
1. **Definición de los vectores:**
\[
\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{w} = \begin{pmatrix} 9 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}
\]
2. **Formar la matriz:**
Formamos una matriz \(A\) cuyas filas son los vectores \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) y \(\mathbf{w}\):
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & -2 & 1 \\
3 & 2 & -3 \\
9 & -2 & -3
\end{pmatrix}
\]
3. **Calcular el determinante de la matriz:**
El determinante de \(A\) se calcula como sigue:
\[
\text{det}(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ -2 & -3 \end{vmatrix} - (-2) \cdot \begin{vmatrix} 3 & -3 \\ 9 & -3 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 9 & -2 \end{vmatrix}
\]
Calculamos cada uno de los determinantes menores:
\[
\begin{vmatrix} 2 & -3 \\ -2 & -3 \end{vmatrix} = (2)(-3) - (-2)(-3) = -6 - 6 = -12
\]
\[
\begin{vmatrix} 3 & -3 \\ 9 & -3 \end{vmatrix} = (3)(-3) - (-3)(9) = -9 + 27 = 18
\]
\[
\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 9 & -2 \end{vmatrix} = (3)(-2) - (2)(9) = -6 - 18 = -24
\]
Sustituyendo en la fórmula del determinante:
\[
\text{det}(A) = 1 \cdot (-12) + 2 \cdot 18 + 1 \cdot (-24) = -12 + 36 - 24 = 0
\]
Como \(\text{det}(A) = 0\), los vectores \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) y \(\mathbf{w}\) son coplanares.
4. **Encontrar la ecuación del plano:**
Para encontrar la ecuación del plano que contiene los vectores, podemos usar el vector normal al plano, que se puede obtener a partir del producto cruzado de dos de los vectores.
Tomemos \(\mathbf{v} - \mathbf{u}\) y \(\mathbf{w} - \mathbf{u}\):
\[
\mathbf{v} - \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 3 - 1 \\ 2 - (-2) \\ -3 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}
\]
\[
\mathbf{w} - \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 9 - 1 \\ -2 - (-2) \\ -3 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}
\]
Ahora calculamos el producto cruzado:
\[
\mathbf{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}
\]
Calculamos el determinante:
\[
\mathbf{n} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 & 4 & -4 \\
8 & 0 & -4
\end{vmatrix}
\]
Esto se calcula como:
\[
\mathbf{n} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 4 & -4 \\ 0 & -4 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 8 & -4 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 0 \end{vmatrix}
\]
Calculamos cada determinante:
\[
\begin{vmatrix} 4 & -4 \\ 0 & -4 \end{vmatrix} = (4)(-4) - (0)(-4) = -16
\]
\[
\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 8 & -4 \end{vmatrix} = (2)(-4) - (-4)(8) = -8 + 32 = 24
\]
\[
\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 0 \end{vmatrix} = (2)(0) - (4)(8) = 0 - 32 = -32
\]
Entonces:
\[
\mathbf{n} = -16 \mathbf{i} - 24 \mathbf{j} - 32 \mathbf{k} = \begin{pmatrix} -16 \\ -24 \\ -32 \end{pmatrix}
\]
La ecuación del plano se puede expresar como:
\[
-16(x - 1) - 24(y + 2) - 32(z - 1) = 0
\]
Simplificando, obtenemos:
\[
-16x - 24y - 32z + 16 + 48 + 32 = 0
\]
\[
-16x - 24y - 32z + 96 = 0
\]
Dividiendo por -8 para simplificar:
\[
2x + 3y + 4z - 12 = 0
\]
Por lo tanto
Revisado y aprobado por el equipo de tutoría de UpStudy
Explicar
Simplifique esta solución
