а) Решите уравнение $$ \frac{(\sin x-1) \log _{15}(\operatorname{tg} x)}{\sqrt{\cos x}}=0 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Решим уравнение:

$$
\frac{(\sin x - 1) \log_{15}(\tan x)}{\sqrt{\cos x}} = 0
$$

Для того чтобы дробь равнялась нулю, числитель должен равняться нулю, а знаменатель должен быть определён (то есть $$\cos x > 0$$).

1. **Числитель равен нулю:**
   $$
   (\sin x - 1) \log_{15}(\tan x) = 0
   $$
   Это возможно в двух случаях:
   
   - $$\sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = 1$$
     
     Решением является $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$. Однако при этих значениях $$\cos x = 0$$, что нарушает условие $$\cos x > 0$$. Поэтому этот случай не даёт допустимых решений.
   
   - $$\log_{15}(\tan x) = 0 \Rightarrow \tan x = 1$$
     
     Решением является $$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$.

2. **Условие на знаменатель:**
   $$
   \cos x > 0
   $$
   Для $$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$$:
   
   - $$\cos\left(\frac{\pi}{4} + \pi k\right) = \cos\frac{\pi}{4} \cos(\pi k) - \sin\frac{\pi}{4} \sin(\pi k) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-1)^k$$
   
   Для $$\cos x > 0$$ необходимо, чтобы $$(-1)^k > 0$$, то есть $$k$$ чётно.

Таким образом, обобщая, все допустимые решения имеют вид:

$$
x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}
$$

**Ответ:**  
Все решения имеют вид $$ x = \dfrac{\pi}{4} + 2\,\pi\,k $$, где $$ k $$ — целое число.
Все решения уравнения имеют вид $$ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k $$, где $$ k $$ — целое число.

а) Решите уравнение

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Trigonometry Questions