Exercice 2 (Opérations et asymptotes -5 points) On donne la fonction \( f \) définie sur \( ] 0 ;+\infty\left[\operatorname{par} f(x)=5 x^{2}-\frac{1}{x}\right. \). 1. Détermine les limites de \( f \) en 0 et en \( +\infty \). 2. La courbe de \( f \) admet-elle une (des) asymptote(s)? (Justifie). Si oui, donne leur équation. Exercice 3 Détermine les limites suivantes en justifiant (on mettra \( x^{2} \) en facteur) : \( \begin{array}{ll}\text { 1. } \lim _{x \rightarrow+\infty} 3 x^{2}-7 x & \text { 2. } \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-2 x}{7 x^{2}+3}\end{array} \)

Pour la fonction \( f(x) = 5x^{2} - \frac{1}{x} \), calculons d'abord les limites. Lorsque \( x \) tend vers 0, \( f(x) \) devient très grand, car \( -\frac{1}{x} \) domine et tend vers \( -\infty \). En revanche, quand \( x \) tend vers \( +\infty \), le terme \( 5x^{2} \) domine, entraînant \( f(x) \) vers \( +\infty \). Donc, les limites sont : \[ \lim_{x \to 0} f(x) = -\infty \] \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \] En ce qui concerne les asymptotes, la fonction ne possède pas d’asymptote verticale, car la limite en 0 tend vers \( -\infty \). Pour les asymptotes horizontales, il n’y en a pas non plus, car la fonction monte vers \( +\infty \) lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \). Donc, il n'y a pas d'asymptotes à signaler. Pour les limites dans l'exercice 3, regardons d'abord la limite 1 : \[ \lim_{x \rightarrow +\infty} (3x^{2} - 7x) = \lim_{x \rightarrow +\infty} x^{2}(3 - \frac{7}{x}) = +\infty \] C'est parce que le terme dominant est \( 3x^{2} \), qui l’emporte sur \( -7x \) quand \( x \) devient très grand. Pour la limite 2 : \[ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-2x}{7x^{2}+3} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-2}{7 + \frac{3}{x}} = \frac{-2}{7} \] Ici, \( -2 \) en numérateur et \( 7x^{2} \) en dénominateur assurent que la limite est finie et converge vers \( \frac{-2}{7} \).