27 Donat el vector \( \overrightarrow{\mathrm{u}}(-5, k) \), calcula \( k \) de manera que a) \( \overrightarrow{\mathrm{u}} \) sigui ortogonal a \( \vec{v}(4,-2) \). b) el mòdul de \( \overrightarrow{\mathrm{u}} \) sigui igual a \( \sqrt{34} \).

7. Un rectingulo tiene un lado que mide el doble que el otro, Si el lado mayor se aumenta en dos unidades y el menor se disminuye en 2 unidades, el rectaingulo así obtenido tiene \( 4 \mathrm{~m}^{2} \) de area más que la mitad del primer rectangulo. Calcular las dimensiones del reetángulo original. solverion: 4 my 8 me

EXERCICE 2: (6pts) Les Parties A et B sont indépendantes PARTIE A 1) Déterminer graphiquement l'ensemble \( S \) des réels \( x \) vérifiant : \( \frac{3}{4} \leq\left|\frac{1}{2} x+1\right| \leq \frac{5}{4} \). 2) a) Donner un majorant et un minorant de chacun des ensembles S et \( \mathrm{S} \cap \mathbb{Z} \). b) Préciser le minimum et maximum s'ils existent de chacun de ces ensembles. 3) Donner l'ensemble des minorants et l'ensemble des majorants de \( S \). 4) On donne \( F=\left\{x \in \mathbb{R} / \frac{3}{4} \leq\left|\frac{1}{2} E(x)+1\right| \leq \frac{5}{4}\right\} \). \( E(x) \) désigne la partie entière de \( x \). a) Montre que \( F=[-4 ;-3] \cup[0 ; 1[ \). b) Soit l'ensemble \( G=F \cap \mathbb{Z} \). Déterminer \( G \).

9. Calcule razonadamente, el valor de \( k \) para que la ecuación \( 2 x^{2}-(4 k+6) x+8 k+6=0 \) tenga una solución real doble. SoluCıón: \( k-4 / 3 \) y \( k--1 / 2 \);

i) \( a^{4}+a^{2} b^{2}+4^{4} \), ii) \( a^{4}+4 \)

PARTIE B 1) Effectuer les opérations suivantes et donner le résultat sous la forme de fraction irréductible : \( A=\left(\frac{1}{2}-\frac{11}{24}\right) \times\left(2-\frac{4}{3}\right) \) et \( B=\left(2-\frac{3-\frac{1}{3}}{3+\frac{1}{3}}\right):\left(1+\frac{1+\frac{3}{4}}{1-\frac{3}{4}}\right) \) 2) Calculer puis écrire sans radical au dénominateur les expressions suivantes : \( \mathrm{C}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}-\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+2}- \) et \( D=\left(\sqrt{5}+\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{2} \) 3) Soient \( x, y \) et \( z \) trois nombres réels strictement positifs. a) Montre que si \( x y+y z+x z=0 \) alors \( \frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}=-3 \). b) Montrer que si \( x<y \) alors \( \sqrt{x+y+2 \sqrt{x y}}+\sqrt{x+y-2 \sqrt{x y}}=2 \sqrt{y} \) c) Montrer que si \( x \geq 2 \) alors \( (\sqrt{x+2 \sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2 \sqrt{x-1}})^{2}=4(x-1) \) Bonus Démontrer que \( \sqrt{2} \) est irrationnelle \( (0,5 \mathrm{pt}) \)