Let the random variable ( \( \mathrm{X}, \mathrm{Y}) \) have the joint probability density function \( f_{X, Y}(x, y)=\exp \{-(x+y)\}, x>0, y>0 \). i. Derive the marginal probability density functions of X and Y , and hence determine (giving reasons) whether or not the two variables are independent ii. Derive the joint cumulative distribution function \( F_{X, Y}(x, y) \)

اگر احتمال رویداد A برابر با 0.3 و احتمال رویداد B برابر با 0.4 باشد، احتمال هم‌زمانی این دو رویداد را محاسبه کنید.

3. Odds 8 to 5 against a person who is 40 years old living till he is 70 and 4 to 3 against another person now 50 till he will be living 80 . Probability that one of them will be alive next 30 years- \( \begin{array}{ll}\text { (A) } 59 / 9 D & \text { (B) } 44 / 91 \\ \text { (C) } 51 / 91 & \text { (D) } 32 / 91\end{array} \)

10. ข้อสอบชุหนึ่งมี 2 ตอน ตอนที่หนึ่ง มี 5 ข้อ ให้เลือกตอบว่าจริงหรือเท็จ ตอนที่สอง มี 5 ข้อ เป็นข้อสอบแบบ 4 ตัวเลือก ถ้าต้องตอบข้อสอบชุนี้ทุกข้อโดยไม่เว้นแล้ว จะมีวิธีตอบข้อสอบชดดนี้ได้ต่าง ๆ กันทั้งหมดเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ \( \begin{array}{llll}\text { 1. } 5^{2} \times 5^{4} \text { วีธี } & \text { 2. } 2^{5} \times 5^{4} \text { วีธี } & \text { 3. } 2^{5} \times 4^{5} \text { วิธี } & \text { 4. } 5^{2} \times 4^{5} \text { วิธี }\end{array} \)

5. An urn contains nine balls of which three are red, four are blue and two are green. Three balls are drawn at random without replacement from the urn. The probability that the three balls have different colours is - (A) \( \frac{1}{3} \) (B) \( \frac{2}{7} \) (C) \( \frac{1}{21} \) (D) \( \frac{2}{23} \)

The number of different permutations of all the letters of the word 'PERMUTATION' such that any two consecutive letters in the arrangement are neither both vowels nor both identical is \( \begin{array}{ll}\text { A } 63 \times 6!\times 5! & \text { B. } 57 \times 5!\times 5! \\ \text { C. } 33 \times 6!\times 5! & \text { D. } 7 \times 7!\times 5!\end{array} \)