a) Suppose that \( f(x)=e^{-(x-4)} \) for \( 4<x \). Determine the following probabilities i. \( P(1<X) \) ii. \( \quad P(2 \leq X \leq 5) \) iii. \( \quad P(5<X) \) iv. \( \quad \begin{array}{l}\text { Determine } x \text { such that } P(X<x)=0.90 \\ \text { v. }\end{array} \begin{array}{l}\text { Determine the cumulative distribution function for the distribution, } f(x)\end{array} \)

Плотность непрерывной случайной величины равна Плотность \( \mathrm{f}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{c}c \times \operatorname{arctg} x, \text { при } x \in(0,1) \\ 0, \text { при } x \nexists(0,1)\end{array}\right. \) Найти: С - ?;MX (математическое ожидание) - ?

3. Odds 8 to 5 against a person who is 40 years old living till he is 70 and 4 to 3 against another person now 50 till he will be living 80 . Probability that one of them will be alive next 30 years- \( \begin{array}{ll}\text { (A) } 59 / 9 D & \text { (B) } 44 / 91 \\ \text { (C) } 51 / 91 & \text { (D) } 32 / 91\end{array} \)

10. ข้อสอบชุหนึ่งมี 2 ตอน ตอนที่หนึ่ง มี 5 ข้อ ให้เลือกตอบว่าจริงหรือเท็จ ตอนที่สอง มี 5 ข้อ เป็นข้อสอบแบบ 4 ตัวเลือก ถ้าต้องตอบข้อสอบชุนี้ทุกข้อโดยไม่เว้นแล้ว จะมีวิธีตอบข้อสอบชดดนี้ได้ต่าง ๆ กันทั้งหมดเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ \( \begin{array}{llll}\text { 1. } 5^{2} \times 5^{4} \text { วีธี } & \text { 2. } 2^{5} \times 5^{4} \text { วีธี } & \text { 3. } 2^{5} \times 4^{5} \text { วิธี } & \text { 4. } 5^{2} \times 4^{5} \text { วิธี }\end{array} \)

b) Suppose that the time it takes a data collection operator to fill out an electronic form for a database is uniformly between 1.5 and 2.2 minutes i. What is the probability that it will take less than two minutes to fill out the form? ii. Determine the cumulative distribution function of the time it takes to fill out the form

اگر احتمال رویداد A برابر با 0.3 و احتمال رویداد B برابر با 0.4 باشد، احتمال هم‌زمانی این دو رویداد را محاسبه کنید.