Estreizio 13.14 Trovare un'applicazione lineare \( F: \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \longrightarrow \mathbb{R}^{3} \) tale che \[ F(x-1)=(1,2,0) \quad F\left(x^{2}+1\right)=(1,2,0) \] Studiare poi la suriettività e l'iniettività di \( F \).

Per trovare un'applicazione lineare \( F: \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \longrightarrow \mathbb{R}^{3} \) tale che \( F(x-1) = (1, 2, 0) \) e \( F(x^2 + 1) = (1, 2, 0) \), si definisce \( F \) sui generatori della base \( \{1, x, x^2\} \) e risolve il sistema di equazioni ottenuto dalle condizioni. Si ottiene: \[ F(1) = (0, 0, 0), \quad F(x) = (1, 2, 0), \quad F(x^2) = (1, 2, 0) \] L'applicazione lineare \( F \) può essere espressa come: \[ F(a + bx + cx^2) = (b + c, 2b + 2c, 0) \] **Studiando l'iniettività e la suriettività:** - **Iniettività**: \( F \) non è iniettiva perché esistono polinomi diversi che mappano a \( (0, 0, 0) \). - **Suriettività**: \( F \) non è suriettiva perché non copre tutto lo spazio \( \mathbb{R}^3 \). Quindi, l'applicazione lineare \( F \) soddisfa le condizioni date, ma non è né iniettiva né suriettiva.