BCD un carré et \( G= \) bary \( \{(A, 2) ;(B,-1) ;(C, 2) ;(D ; 1)\} \) oient \( I= \) bary \( \{(A, 2) ;(B,-1)\} \) et \( J= \) bary \( \{(C, 2) ;(D ; 1)\} \); Montrer que \( 2 \overrightarrow{G A}-\overrightarrow{G B}=\overrightarrow{G I} \) et \( 2 \overrightarrow{G C}+\overrightarrow{G D}=3 \overrightarrow{G j} \) En déduire que \( G=\operatorname{bary\{ }(I, 1) ;(1,3)\} \) Construire I et \( J \) puis \( G \) a) Vérifier que: \( \forall M \in(P): 2 \overrightarrow{M A}-\overrightarrow{M B}+2 \overrightarrow{M C}+\overrightarrow{M D}=4 \overrightarrow{M G} \) b) Déterminer l'ensemble des points M du plan \( (P) \) tel que : \[ \|2 \overrightarrow{M A}-\overrightarrow{M B}+2 \overrightarrow{M C}+\overrightarrow{M D}\|=4\|2 \overrightarrow{M A}-\overrightarrow{M B}\| \]

Pour résoudre le problème, nous avons démontré que \( 2 \overrightarrow{G A} - \overrightarrow{G B} = \overrightarrow{G I} \) et \( 2 \overrightarrow{G C} + \overrightarrow{G D} = 3 \overrightarrow{G J} \). Ensuite, nous avons déduit que \( G \) est le barycentre de \( I \) et \( J \) avec les coefficients \( 1 \) et \( 3 \). En construisant \( I \) et \( J \), puis \( G \), nous avons vérifié que pour tout point \( M \) dans le plan \( P \), la relation \( 2 \overrightarrow{M A} - \overrightarrow{M B} + 2 \overrightarrow{M C} + \overrightarrow{M D} = 4 \overrightarrow{M G} \) est vraie. Enfin, nous avons déterminé que l'ensemble des points \( M \) satisfaisant \( \|2 \overrightarrow{M A} - \overrightarrow{M B} + 2 \overrightarrow{M C} + \overrightarrow{M D}\| = 4\|2 \overrightarrow{M A} - \overrightarrow{M B}\| \) est l'ensemble des points \( M \) tels que \( \overrightarrow{M G} \) est colinéaire à \( \overrightarrow{M A} - \overrightarrow{M B} \).