Esercizio 13.5 Si consideri l'applicazione $$ F: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} $$ tale che $$ F(x, y, z)=(x-y, z) . $$ Determinare la controimmagine di $$ (2,2) $$ sotto l'azione di $$ F $$. (i) Determinare una base e la dimensione di $$ \operatorname{Im} F $$ e di Ker $$ F $$. (ii) Calcolare la dimensione dell'immagine del sottospazio $$ U=\mathcal{L}((1,0,0),(0,2,0) $$. Svolgimento $$ \{(2+t, t, 2) \mid t \in \mathbb{R}\} $$. Risolvendo il relativo sistema si trovano infinite soluzioni date da

Question

Gibbs Henry · Accepted Answer

**Soluzione** Consideriamo l'applicazione lineare $$ F: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} $$ definita da $$ F(x, y, z) = (x - y, z). $$ ### (i) Determinare una base e la dimensione di $$ \operatorname{Im} F $$ e di $$ \ker F $$. **Immagine di $$ F $$ ($$ \operatorname{Im} F $$):** $$ \operatorname{Im} F = \{ (x - y, z) \mid x, y, z \in \mathbb{R} \} = \mathbb{R}^2. $$ Base: $$ \{ (1, 0), (0, 1) \} $$ Dimensione: 2 **Nucleo di $$ F $$ ($$ \ker F $$):** $$ \ker F = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x - y = 0 \text{ e } z = 0 \} = \{ y(1, 1, 0) \mid y \in \mathbb{R} \}. $$ Base: $$ \{ (1, 1, 0) \} $$ Dimensione: 1 ### (ii) Calcolare la dimensione dell'immagine del sottospazio $$ U = \mathcal{L} \{ (1, 0, 0), (0, 2, 0) \} $$. **Sottospazio $$ U $$:** $$ U = \{ y(1, 0, 0) + z(0, 2, 0) \mid y, z \in \mathbb{R} \}. $$ Dimensione: 2 **Immagine di $$ U $$ attraverso $$ F $$:** $$ F(U) = \{ F(y(1, 0, 0)) + F(z(0, 2, 0)) \} = \{ (y, 0) + (-2z, 0) \} = \{ (y - 2z, 0) \mid y, z \in \mathbb{R} \}. $$ Dimensione: 1 **Riassunto:** - **Immagine di $$ F $$:** Base $$ \{ (1, 0), (0, 1) \} $$, Dimensione 2 - **Nucleo di $$ F $$:** Base $$ \{ (1, 1, 0) \} $$, Dimensione 1 - **Immagine di $$ U $$ attraverso $$ F $$:** Dimensione 1

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