What does the Fundamental Theorem of Calculus state about the relationship between differentiation and integration?

32. \( y=\operatorname{sen} x-x \cos x+x^{2}+4 x+3 \) Solucion: \( x \operatorname{sen} x+2 x+4 \)

Aufgabe 5 (4 Punkte, zum präzisen Aufschrieb). Seien \( \left(a_{n}\right),\left(b_{n}\right) \) beschränkte R-wertige Folgen. Zeigen Sie: 1. \( \liminf _{n \rightarrow \infty} a_{n}+\liminf _{n \rightarrow \infty} b_{n} \leq \liminf _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) \leq \limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n}+\liminf _{n \rightarrow \infty} b_{n} \) 2. \( \limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n}+\liminf _{n \rightarrow \infty} b_{n} \leq \limsup _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) \leq \limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n}+\limsup _{n \rightarrow \infty} b_{n} \)

e) Las coordenadas de los puntos máximos y minimos, \( x^{3}+2 x^{2}-11 x-12=0 \) ler. Derivada; Gualar con \( 0 \quad \) la \( (x)=0 \) \( 3 x^{2}+4 x-11 ; \) 2 da Derivada. \( 6 x+4 \)

f) \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x+x^{2}}{(\sin x)^{3}+2 x} \)

7. Calcular \( \frac{d}{d x} \int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t \) \( \begin{array}{ll}\ln t & \text { b) } \frac{1}{t} \\ \text { c) } \frac{1}{x} & \text { d) } \frac{\ln x}{x}\end{array} \)