Probability Questions & Answers

6. Let \( X \) and \( Y \) represent the coordinates of a point selected uniformly at random from the unit square, where \( X, Y \sim \) Uniform( 0,1\( ) \). (a) Find the marginal PDFs of \( X \) and \( Y \). (b) Find the joint PDF of \( X \) and \( Y \). (c) Are \( X \) and \( Y \) independent? (d) Find \( E[X Y] \).

Ei) La probabilided porcentual de que salgan dos números iguales at lanzar dos dados es: \( \begin{array}{lllll}\text { A) } 10 \% & \text { B) } 12 \% & \text { C) } 16,6 \% & \text { D) } 33,3 \% & \text { E) } 50 \%\end{array} \)

5) ¿Cuail as la probabilidad de que al lanzar 4 veces una moneda, salgan sólo 2 caras? A) \( 8 / 16 \) B) \( 6 / 16 \) C) \( 2 / 16 \) D) \( 1 / 16 \) E) \( 4 / 16 \)

3) Una caja tiene 12 esferas de igual tamaño y peso. Cada una de ellas contione una let de la palabra DEPARTAMENTO. ¿Cuál(es) do la(s) sigulentes afirmacionos es(so vordadera(s) I) La probabilidad de sacar una M es \( 1 / 12 \) ii) La probabilidad de no sacar una vocal es \( 7 / 12 \) III) La probabilidad de sacar una A es la misma que de sacar una T A) Sóla I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

10) A letter is chosen at random from the word: PHILANTHROPIST, what is the probability that it is the letter: a. P b. 1 c. - A d. \( U \)

Pour la séance prochaine : relire le cours d'aujourd'hui. Exercice \( 21 \quad \) Toutes les variables aléatoires sont définies sur un espace probabilisé \( (\Omega, \mathcal{A}, P) \). Soit \( \left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}} \) une suite de variables aléatoires indépendantes et suivant toutes la méme loi qu'une variable aléatoire \( X \hookrightarrow \mathcal{P}(1) \). On note pour tout \( n \geqslant 1, S_{n}=\sum_{k=1}^{n} X_{k} \) et \( \overline{X_{n}}=\frac{X_{n}}{n} \). 1. Soit \( n \geqslant 1 \). Quelle est la loi de \( S_{n} \) ? 2. Soit \( n \geqslant 1 \). Exprimer \( P\left(S_{n} \leqslant n\right) \) comme une somme dépendant de \( n \). 3. Soit \( n \geqslant 1 \). Exprimer \( P\left(S_{n} \leqslant n\right) \) en fonction de \( \overline{X_{n}}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{V(X)}}\left(\overline{X_{n}}-E(X)\right) \). Puis, en utilisant le théorème limite central, prouver que : \( \lim _{n \rightarrow+\infty} e^{-n} \sum_{k=0}^{n} \frac{n^{k}}{k!}=\frac{1}{2} \).

Самостоятельная работа . Геометрическая вероятность Вариант 1 .1 Часы с двенадцатичасовым циферблатом остановились. Найдите вероятность т ого, что часова стрелка достигла 5 часов, но не достигла 10. Ответ, если нужно. округлите ло сотьт.

Given the two independent events \( A \) and \( B \) such that \( P(A \cap B)=0.4 \& P(A)=4 P(B) \). Then \( P(B)= \) 0.447 0.316 0.365 0.213

Let A and B be events with \( P(A)=\frac{6}{15}, P(B)=\frac{9}{15} \) and \( P(\overline{A \cup B})=\frac{4}{15} \). What is \( P(A \cap B) ? \) \( 3 / 15 \) \( 2 / 15 \) None of the cholces \( 4 / 15 \)

Given 2 events \( B \) and \( C \) such that \( P(C)=0.16 \) and \( P(\bar{C} \cap \bar{B})=0.34 \) then \( P(\bar{C} \cap B)= \) 0.35 0.5 0.2 0.66