Evaluate the following triple integral in spherical coordinated. \[ f(\rho, \theta, \varphi)=\sin (\varphi) \text {. } \] over the region \( 0 \leq \theta \leq 2 \pi, 0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{4}, 8 \leq \rho \leq 9 \)

¿Cuál es el valor medio de \( f(x)=x^{3}+x^{2} \) en el intervalo \( \left[-\frac{1}{2}, 2\right] \) ? a. 3.54 b. 2.078 c. 7.76 d. 2.64

\( \int \int _ { R } ( 3 x + 4 y ^ { 2 } ) d A \)

Find \( \frac{d y}{d x} \) for \( y=\tan ^{-1}\left\{\frac{\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}}}{\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}}}\right\} \)

¿De \( \int \frac{x+1}{(x-2)(x-3)(x-1)} d x \) cuál es el planteamiento de las fracciones parciales? a. No es posible plantear fracciones para el proceso de la solución de la integral b. \( \frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x-2)}-\frac{C}{(x-3)} \) - c. \( \frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x-2)}+\frac{C}{(x+3)} \) - d. \( \frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x-2)}+\frac{C}{(x-3)} \) O e. \( \frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x+2)}+\frac{C}{(x-3)} \)

\( \int \int _ { R } ( \psi _ { u } + \epsilon y ^ { r } ) d A \)