(8) Let \( g(x)=\frac{x^{2}+x-6}{|x-2|} \) (a) Find \( \lim _{x \rightarrow 2^{+}} g(x) \) and \( \lim _{x \rightarrow 2^{-}} g(x) \) (b) Does \( \lim _{x \rightarrow 2} g(x) \) exist?

اعثر على المساحة المحصورة بين المنحنيين \( p(x) = x^4 - 4x^2 \) و \( q(x) = 2x \) عندما يتداخلان عند عدد أكبر من نقطتين.

Partie II- Comportement à l'infini des solutions de \( :(E): y^{\prime \prime}-\frac{1}{1+t^{2}} y^{\prime}+y=0 \) Soi \( f \) une solution non nulle de \( (E): y^{\prime \prime}-\frac{1}{1+t^{2}} y^{\prime}+y=0 \). On note \( q: t \in \mathbb{R}^{+} \mapsto \frac{1}{1+t^{2}} \). 3. Justifier à l'aide du théorème de Cauchy-Lipschitz, que pour tout \( t \in \mathbb{R},\left(f(t), f^{\prime}(t)\right) \neq(0,0) \). 4. En déduire qu'il existe deux applications \( r \in \mathcal{C}^{1}\left(\mathbb{R}^{+}, \mathbb{R}_{+}^{*}\right) \) et \( \theta \in \mathcal{C}^{1}\left(\mathbb{R}^{+}, \mathbb{R}\right) \) telles que \[ \forall t \in \mathbb{R}^{+}, f(t)=r(t) \cos (\theta(t)) \text { et } f^{\prime}(t)=r(t) \sin (\theta(t)) \text {. } \] 5. Exprimer \( r \) en fonction de \( f \) et \( f^{\prime} \). Les fonctions \( r \) et \( \theta \) sont fixées ainsi pour la suite de la partie. (a) Montrer que \( \theta^{\prime}=-1+q \sin (\theta) \cos (\theta) \) (b) Montrer que \( r^{\prime}=q r \sin 2 \). En déduire la monotonie de \( r \). (c) Etudier les variations de \( t \mapsto r(t) \exp (-\arctan (t)) \) et en déduire que \( 0 \leq r(t) \leq r(0) \exp (\operatorname{arctar} \) que \( r \) a une limite strictement positive en \( +\infty \). Démontrer que \( f \) et \( f^{\prime} \) sont bornées .

49) \( y=\sqrt{x} \quad f^{(3)} \)

5. Exprimer \( r \) en fonction de \( f \) et \( f^{\prime} \). Les fonctions \( r \) et \( \theta \) sont fixées ainsi pour la suite de la partie. (a) Montrer que \( \theta^{\prime}=-1+q \sin (\theta) \cos (\theta) \) (b) Montrer que \( r^{\prime}=q r \sin ^{2} \theta \). En déduire la monotonie de \( r \).

AN: Find \( \frac{\partial w}{\partial u} \) and \( \frac{\partial w}{\partial v} \) and cheak the result by substitution and difformatiat where: \( w=x y, x=e^{u} \cos v, y=e^{u} \sin v \)