Soit la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x)=-2 x^{2}-2 x+3 \). On veut calculer le nombre dérivé de \( f \) en \( x=1 \), en utilisant la définition. 1. Calculer \( f(1)=\quad I \) 2. Exprimer \( f(1+h) \) en fonction de \( h \) : 3. Calculer le rapport \( \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \) en fonction de \( h \) : 4. En déduire la valeur du nombre dérivé de \( f \) en \( x=1 \) :

Pregunta. 2.1 Determine los valores extremos de \( f(x, y)=x^{2}+2 y^{2} \), sujeto a la restricción \( x^{2}+y^{2}=1 \)

1) \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(e^{x}-1\right)-x-\frac{x^{2}}{2}}{x^{4}} \)

5. Exprimer \( r \) en fonction de \( f \) et \( f^{\prime} \). Les fonctions \( r \) et \( \theta \) sont fixées ainsi pour la suite de la partie. (a) Montrer que \( \theta^{\prime}=-1+q \sin (\theta) \cos (\theta) \) (b) Montrer que \( r^{\prime}=q r \sin ^{2} \theta \). En déduire la monotonie de \( r \).

2. find Maclurin expansion of (2 Points) * \[ \begin{array}{l}f(x)=\sinh x \\ f(x)=1+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\ldots \ldots \\ f(x)=x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\ldots \ldots \\ f(x)=x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\ldots \ldots \\ f(x)=x+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+\ldots\end{array} \]

Partie II- Comportement à l'infini des solutions de \( :(E): y^{\prime \prime}-\frac{1}{1+t^{2}} y^{\prime}+y=0 \) Soi \( f \) une solution non nulle de \( (E): y^{\prime \prime}-\frac{1}{1+t^{2}} y^{\prime}+y=0 \). On note \( q: t \in \mathbb{R}^{+} \mapsto \frac{1}{1+t^{2}} \). 3. Justifier à l'aide du théorème de Cauchy-Lipschitz, que pour tout \( t \in \mathbb{R},\left(f(t), f^{\prime}(t)\right) \neq(0,0) \). 4. En déduire qu'il existe deux applications \( r \in \mathcal{C}^{1}\left(\mathbb{R}^{+}, \mathbb{R}_{+}^{*}\right) \) et \( \theta \in \mathcal{C}^{1}\left(\mathbb{R}^{+}, \mathbb{R}\right) \) telles que \[ \forall t \in \mathbb{R}^{+}, f(t)=r(t) \cos (\theta(t)) \text { et } f^{\prime}(t)=r(t) \sin (\theta(t)) \text {. } \] 5. Exprimer \( r \) en fonction de \( f \) et \( f^{\prime} \). Les fonctions \( r \) et \( \theta \) sont fixées ainsi pour la suite de la partie. (a) Montrer que \( \theta^{\prime}=-1+q \sin (\theta) \cos (\theta) \) (b) Montrer que \( r^{\prime}=q r \sin 2 \). En déduire la monotonie de \( r \). (c) Etudier les variations de \( t \mapsto r(t) \exp (-\arctan (t)) \) et en déduire que \( 0 \leq r(t) \leq r(0) \exp (\operatorname{arctar} \) que \( r \) a une limite strictement positive en \( +\infty \). Démontrer que \( f \) et \( f^{\prime} \) sont bornées .