Find the equation of trangent to the carve \( g=2 x^{2}+3 x+5 \) at \( x=0 \)

Soit la fonction \( f \) définie sur R par : \( f(x)=\frac{4 x-3}{x^{2}+1} \) 1. Montrer que : \( \forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \) tel que \( x \neq y \) \[ \frac{f(x)-f(y)}{x-y}=\frac{(2 x+1)(2-y)+(2 y+1)(2-x)}{\left(x^{2}+1\right)\left(y^{2}+1\right)} \] 2. Étudier les variations de f sur \( \left[2,+\infty\left[,\left[-\frac{1}{2}, 2[\right.\right.\right. \) et \( \left.]-\infty,-\frac{1}{2}\right] \) 3. Déterminer la valeur minimale absolue de \( f \) 4. montrer que : \( f([2,+\infty[)=] 0,1] \)

\( x \frac { 1 } { \sqrt { 1 - y ^ { 2 } } } \cdot y ^ { \prime } + 3 x ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { y } } \cdot y ^ { \prime } \)

Partie II- Comportement à l'infini des solutions de \( :(E): y^{\prime \prime}-\frac{1}{1+t^{2}} y^{\prime}+y=0 \) Soi \( f \) une solution non nulle de \( (E): y^{\prime \prime}-\frac{1}{1+t^{2}} y^{\prime}+y=0 \). On note \( q: t \in \mathbb{R}^{+} \mapsto \frac{1}{1+t^{2}} \). 3. Justifier à l'aide du théorème de Cauchy-Lipschitz, que pour tout \( t \in \mathbb{R},\left(f(t), f^{\prime}(t)\right) \neq(0,0) \). 4. En déduire qu'il existe deux applications \( r \in \mathcal{C}^{1}\left(\mathbb{R}^{+}, \mathbb{R}_{+}^{*}\right) \) et \( \theta \in \mathcal{C}^{1}\left(\mathbb{R}^{+}, \mathbb{R}\right) \) telles que \[ \forall t \in \mathbb{R}^{+}, f(t)=r(t) \cos (\theta(t)) \text { et } f^{\prime}(t)=r(t) \sin (\theta(t)) \text {. } \] 5. Exprimer \( r \) en fonction de \( f \) et \( f^{\prime} \). Les fonctions \( r \) et \( \theta \) sont fixées ainsi pour la suite de la partie. (a) Montrer que \( \theta^{\prime}=-1+q \sin (\theta) \cos (\theta) \) (b) Montrer que \( r^{\prime}=q r \sin 2 \theta \). En déduire la monotonie de \( r \). (c) Etudier les variations de \( t \mapsto r(t) \exp (-\arctan (t)) \) et en déduire que \( 0 \leq r(t) \leq r(0) \exp \) (arctar que \( r \) a une limite strictement positive en \( +\infty \).

Determine the area between the curves \( y = x^2 \) and \( y = 4 - x^2 \) for the interval where they intersect.

Partie II- Comportement à l'infini des solutions de \( :(E): y^{\prime \prime}-\frac{1}{1+t^{2}} y^{\prime}+y=0 \) Soi \( f \) une solution non nulle de \( (E): y^{\prime \prime}-\frac{1}{1+t^{2}} y^{\prime}+y=0 \). On note \( q: t \in \mathbb{R}^{+} \mapsto \frac{1}{1+t^{2}} \) 3. Justifier à l'aide du théorème de Cauchy-Lipschitz, que pour tout \( t \in \mathbb{R},\left(f(t), f^{\prime}(t)\right) \neq(0,0) \) 4. En déduire qu'il existe deux applications \( r \in \mathcal{C}^{1}\left(\mathbb{R}^{+}, \mathbb{R}_{+}^{*}\right) \) et \( \theta \in \mathcal{C}^{1}\left(\mathbb{R}^{+}, \mathbb{R}\right) \) telles que \[ \forall t \in \mathbb{R}^{+}, f(t)=r(t) \cos (\theta(t)) \text { et } f^{\prime}(t)=r(t) \sin (\theta(t)) \]