Soit la fonction \( f \) définie sur R par : \( f(x)=\frac{4 x-3}{x^{2}+1} \) 1. Montrer que : \( \forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \) tel que \( x \neq y \) \[ \frac{f(x)-f(y)}{x-y}=\frac{(2 x+1)(2-y)+(2 y+1)(2-x)}{\left(x^{2}+1\right)\left(y^{2}+1\right)} \] 2. Étudier les variations de f sur \( \left[2,+\infty\left[,\left[-\frac{1}{2}, 2[\right.\right.\right. \) et \( \left.]-\infty,-\frac{1}{2}\right] \) 3. Déterminer la valeur minimale absolue de \( f \) 4. montrer que : \( f([2,+\infty[)=] 0,1] \)

Evaluate the triple integral. \[ \iiint_{G} x y \sin (y z) d V \text {, } \] where \( G \) is the rectangular box defined by the inequalities \( 0 \leq x \leq \pi, 0 \leq y \leq 17,0 \leq z \leq \frac{\pi}{102} \)

احسب المسافة التي قطعها الجسم المتحرك وفقًا للمعادلة \( s(t) = t^3 - 3t + 2 \) خلال الزمن من \( t = 0 \) إلى \( t = 2 \).

\( \iint_{R} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x d y \) बत्र मान निर्

soit \( x \in \mathbb{R}^{+} \): On pose \[ A=\sqrt{x^{2}+1}-x \text { et } B=\sqrt{x^{2}+1}+x . \] 1. [1 pt] Montrer que : \( A>0 \) et déduire que : \( B>2 x \). 2. [1 pt] Calculer \( A B \) et déduire que : \( A<\frac{1}{2 x} \) pour \( x \neq 0 \). 3. [1 pt]Démontrer que pour tout \( x \neq 0: \quad x<\sqrt{x^{2}+1}<x+\frac{1}{2 x} \). 4. \( \left[1 \mathrm{pt}\right. \) ] Donner un encadrement d'amplitude \( \frac{1}{66} \) pour le nombre \( \frac{\sqrt{122}}{3} \). Exercice \( 4 ; 3.5 \) POINTS.

\( \frac { 1 } { 1 \cdot 2 } + \frac { 1 } { 2 \cdot 3 } + \frac { 1 } { 3 \cdot 4 } + \ldots + \frac { 1 } { 999 \cdot 1000 } \)