Esercizio 9.7 Verificare che $$ \left\{v_{1}=x+1, v_{2}=x^{2}-1, v_{3}=2-x\right\} $$ è una base di $$ \mathbb{R}_{\leqslant 2}[x] $$. Scrivere i vettori $$ u=x^{2}+x+1, v=-x-1 $$ e $$ u+3 v $$ come combinazione lineare di tale base. Svolgimento La matrice delle coordinate di $$ v_{1}, v_{2} $$ e $$ v_{3} $$ rispetto alla base canonica ha determinante non nullo, quindi essi sono una base. Si trova poi $$ u=\frac{4}{3} v_{1}+v_{2}+\frac{1}{3} v_{3} $$, $$ v=-v_{1} $$ e $$ u+3 v=\frac{7}{3} v_{1}+v_{2}+\frac{1}{3} v_{3} $$.

Question

Flynn Joseph · Accepted Answer

L'insieme $$ \{v_{1}=x+1,\ v_{2}=x^{2}-1,\ v_{3}=2-x\} $$ è una base di $$ \mathbb{R}_{\leqslant 2}[x] $$. I vettori $$ u = x^{2} + x + 1 $$, $$ v = -x - 1 $$ e $$ u + 3v $$ possono essere espressi come combinazioni lineari della base come segue: $$ u = \frac{4}{3} v_{1} + v_{2} + \frac{1}{3} v_{3} $$ $$ v = -v_{1} $$ $$ u + 3v = -\frac{5}{3} v_{1} + v_{2} + \frac{1}{3} v_{3} $$

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