Sea \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\left(\frac{\sin (2 x)}{x}\right) e^{-x^{2}} & \text { si } x \neq 0 \\ 2 & \text { si } x=0\end{array}\right. \] (a) Demostrar que \( f(x) \) es continua en \( x=0 \). (b) Demostrar que \( f(x) \) es derivable en \( x=0 \) y su derivada es continua en \( x=0 \).

Câu 37. Cho hàm số \( y=f(x) \) xác định trên R và có \( \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}}{x-3}=5 \). Tỉnh \( \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}+x-12}{x^{2}-x} \) ? Câu 38. Cho hàm số \( y=f(x) \) xác định trền R và có \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-2}{x-1}=4 \). Tỉnh \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x+8}+\sqrt{f(x)-1}-4}{x^{2}} \) ?

A car's velocity is given by the function \( v(t) = 5t^2 + 3 \). Calculate the distance traveled by the car from time \( t = 0 \) to \( t = 4 \).

(c) Use Bisection method to solve \( x^{3}-9 x+1=0 \) for the root between \( x=2 \) and \( x=4 \). 5 marks) (d) Using \( \sin (0.1)=0.09983 \) and \( \sin (0.2)=0.198 \), find an appropriate value of \( \sin (0.15) \) by using Langranges interpolation.

Determina las dimensiones de una caja \sin tapa con un volumen de 300 cm³ que minimizan el área superficial, utilizando relación entre largo, ancho y alto.

Question 1: \( (15 \) mark \( ) \) (1)- Derivative of \( X \) from first principles?