Use the recursively defined geometric sequence \( a_{1}=\frac{5}{6}, a_{n}=4 a_{n-1} \) and find the common ratio. (1 point) \( 0 \frac{5}{6} \) \( 0-\frac{2}{3} \) \( 0 \frac{10}{3} \)

b) Montrer que si \( x<y \) alors \( \sqrt{x+y+2 \sqrt{x y}+\sqrt{x+y-2 \sqrt{x y}}=2 \sqrt{y}} \) c) Montrer que si \( x \geq 2 \) alors \( (\sqrt{x+2 \sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2 \sqrt{x-1}})^{2}=4(x-1) \) Bonus Démontrer que \( \sqrt{2} \) est irrationnelle

PARTIE B 1) Effectuer les opérations suivantes et donner le résultat sous la forme de fraction irréductible : \( A=\left(\frac{1}{2}-\frac{11}{24}\right) \times\left(2-\frac{4}{3}\right) \) et \( B=\left(2-\frac{3-\frac{1}{3}}{3+\frac{1}{3}}\right):\left(1+\frac{1+\frac{3}{4}}{1-\frac{3}{4}}\right) \) 2) Calculer puis écrire sans radical au dénominateur les expressions suivantes : \( \mathrm{C}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}-\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+2}- \) et \( D=\left(\sqrt{5}+\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{2} \) 3) Soient \( x, y \) et \( z \) trois nombres réels strictement positifs. a) Montre que si \( x y+y z+x z=0 \) alors \( \frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}=-3 \). b) Montrer que si \( x<y \) alors \( \sqrt{x+y+2 \sqrt{x y}}+\sqrt{x+y-2 \sqrt{x y}}=2 \sqrt{y} \) c) Montrer que si \( x \geq 2 \) alors \( (\sqrt{x+2 \sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2 \sqrt{x-1}})^{2}=4(x-1) \) Bonus Démontrer que \( \sqrt{2} \) est irrationnelle \( (0,5 \mathrm{pt}) \)

\( \mathrm{C}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}-\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+2}- \) et \( D=\left(\sqrt{5}+\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{2} \) 3) Soient \( x, y \) et \( z \) trois nombres réels strictement positifs. a) Montre que si \( x y+y z+x z=0 \) alors \( \frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}=-3 \).

Question (2): Solve all the following Problem Marks] a) If \( A=\left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 2 & 5 \\ 1 & 3\end{array}\right] \) and \( B=\left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 5 & -1 \\ 3 & 2\end{array}\right] \), find \( 3 A-B \). b) If \( A=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -1 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right] \), and \( B=\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 2 \\ -4 & 1 & 0\end{array}\right] \), find \( B A \). c) Find the inverse of the Matrix \( A=\left[\begin{array}{ccc}4 & -2 & 1 \\ 5 & 0 & 3 \\ -1 & 2 & 6\end{array}\right] \) d) Solve the following system of equations using jacobi method. \( x+y+z=9 \) \( \quad 2 x+5 y+7 z=52 \) \( 2 x+y-z=0 \)

If \( \sum_{p=0}^{k}\left(\frac{1}{3} p+\frac{1}{6}\right)=20 \frac{1}{6} \), determine the value of \( k \)